[Leetcode] Backtracking回溯法(又称DFS,递归)全解

liuqi627

回溯全集

回溯是啥

用爬山来比喻回溯,好比从山脚下找一条爬上山顶的路,起初有好几条道可走,当选择一条道走到某处时,又有几条岔道可供选择,只能选择其中一条道往前走,若能这样子顺利爬上山顶则罢了,否则走到一条绝路上时或者这条路上有一坨屎,我们只好返回到最近的一个路口,重新选择另一条没走过的道往前走。如果该路口的所有路都走不通,只得从该路口继续回返。照此规则走下去,要么找到一条到达山顶的路,要么最终试过所有可能的道,无法到达山顶。
回溯本质上是一种穷举。

还有一些爱混淆的概念:递归,回溯,DFS。这些都是一个事儿的不同方面。以下以回溯统称,因为这个词听上去很文雅。

识别回溯

判断回溯很简单,拿到一个问题,你感觉如果不穷举一下就没法知道答案,那就可以开始回溯了。
一般回溯的问题有三种:

  1. Find a path to success 有没有解
  2. Find all paths to success 求所有解

    • 求所有解的个数
    • 求所有解的具体信息
  3. Find the best path to success 求最优解

理解回溯:给一堆选择, 必须从里面选一个. 选完之后我又有了新的一组选择. This procedure is repeated over and over until you reach a final state. If you made a good sequence of choices, your final state is a goal state; if you didn't, it isn't.

回溯可以抽象为一棵树,我们的目标可以是找这个树有没有good leaf,也可以是问有多少个good leaf,也可以是找这些good leaf都在哪,也可以问哪个good leaf最好,分别对应上面所说回溯的问题分类。
good leaf都在leaf上。good leaf是我们的goal state,leaf node是final state,是解空间的边界。

对于第一类问题(问有没有解),基本都是长着个样子的,理解了它,其他类别迎刃而解:

boolean solve(Node n) {
    if n is a leaf node {
        if the leaf is a goal node, return true
        else return false
    } else {
        for each child c of n {
            if solve(c) succeeds, return true
        }
        return false
    }
}

请读以下这段话以加深理解:
Notice that the algorithm is expressed as a boolean function. This is essential to understanding the algorithm. If solve(n) is true, that means node n is part of a solution--that is, node n is one of the nodes on a path from the root to some goal node. We say that n is solvable. If solve(n) is false, then there is no path that includes n to any goal node.

还不懂的话请通读全文吧:Backtracking - David Matuszek

关于回溯的三种问题,模板略有不同,
第一种,返回值是true/false。
第二种,求个数,设全局counter,返回值是void;求所有解信息,设result,返回值void。
第三种,设个全局变量best,返回值是void。

第一种:

boolean solve(Node n) {
    if n is a leaf node {
        if the leaf is a goal node, return true
        else return false
    } else {
        for each child c of n {
            if solve(c) succeeds, return true
        }
        return false
    }
}

第二种:

void solve(Node n) {
    if n is a leaf node {
        if the leaf is a goal node, count++, return;
        else return
    } else {
        for each child c of n {
            solve(c)
        }
    }
}

第三种:

void solve(Node n) {
    if n is a leaf node {
        if the leaf is a goal node, update best result, return;
        else return
    } else {
        for each child c of n {
            solve(c)
        }
    }
}

题目

八皇后 N-Queens

问题

1.给个n,问有没有解;
2.给个n,有几种解;(Leetcode N-Queens II)
3.给个n,给出所有解;(Leetcode N-Queens I)

解答
1.有没有解

怎么做:一行一行的放queen,每行尝试n个可能,有一个可达,返回true;都不可达,返回false.

边界条件leaf:放完第n行 或者 该放第n+1行(出界,返回)

目标条件goal:n行放满且isValid,即目标一定在leaf上

helper函数:
boolean solve(int i, int[][] matrix)
在进来的一瞬间,满足property:第i行还没有被放置,前i-1行放置完毕且valid
solve要在给定的matrix上试图给第i行每个位置放queen。

public static boolean solve1(int i, List<Integer> matrix, int n) {
    if (i == n) {
        if (isValid(matrix))
            return true;
        return false;
    } else {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            matrix.add(j);
            if (isValid(matrix)) {    //剪枝
                if (solve1(i + 1, matrix, n)) 
                    return true;
            }
            matrix.remove(matrix.size() - 1);
        }
        return false;
    }
}
2.求解的个数

怎么做:一行一行的放queen,每行尝试n个可能。这回因为要找所有,返回值就没有了意义,用void即可。在搜索时,如果有一个可达,仍要继续尝试;每个子选项都试完了,返回.

边界条件leaf:放完第n行 或者 该放第n+1行(出界,返回)

目标条件goal:n行放满且isValid,即目标一定在leaf上

helper函数:
void solve(int i, int[][] matrix)
在进来的一瞬间,满足property:第i行还没有被放置,前i-1行放置完毕且valid
solve要在给定的matrix上试图给第i行每个位置放queen。
这里为了记录解的个数,设置一个全局变量(static)int是比较efficient的做法。

public static void solve2(int i, List<Integer> matrix, int n) {
    if (i == n) {
        if (isValid(matrix))
            count++;
        return;
    } else {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            matrix.add(j);
            if (isValid(matrix)) {    //剪枝
                solve2(i + 1, matrix, n); 
            }
            matrix.remove(matrix.size() - 1);
        }
    }
}
3.求所有解的具体信息

怎么做:一行一行的放queen,每行尝试n个可能。返回值同样用void即可。在搜索时,如果有一个可达,仍要继续尝试;每个子选项都试完了,返回.

边界条件leaf:放完第n行 或者 该放第n+1行(出界,返回)

目标条件goal:n行放满且isValid,即目标一定在leaf上

helper函数:
void solve(int i, int[][] matrix)
在进来的一瞬间,满足property:第i行还没有被放置,前i-1行放置完毕且valid
solve要在给定的matrix上试图给第i行每个位置放queen。
这里为了记录解的具体情况,设置一个全局变量(static)集合是比较efficient的做法。
当然也可以把结果集合作为参数传来传去。

public static void solve3(int i, List<Integer> matrix, int n) {
    if (i == n) {
        if (isValid(matrix))
            result.add(new ArrayList<Integer>(matrix));
        return;
    } else {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            matrix.add(j);
            if (isValid(matrix)) {    //剪枝
                solve3(i + 1, matrix, n); 
            }
            matrix.remove(matrix.size() - 1);
        }
    }
}
优化

上面的例子用了省空间的方法。
由于每行只能放一个,一共n行的话,用一个大小为n的数组,数组的第i个元素表示第i行放在了第几列上。

Utility(给一个list判断他的最后一行是否和前面冲突):

public static boolean isValid(List<Integer> list){
    int row = list.size() - 1;
    int col = list.get(row);
    for (int i = 0; i <= row - 1; i++) {
        int row1 = i;
        int col1 = list.get(i);
        if (col == col1)
            return false;
        if (row1 - row == col1 - col)
            return false;
        if (row1 - row == col - col1)
            return false;
    }
    return true;
    
}

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