椭圆曲线加密算法原理解析(ECC)

前言

随着计算机性能的提升,市面上的加密技术越来越不安全,1024位的RSA私钥加密已经可以破解,目前有效的手段只是将1024位换成2048位,但随着技术的进步,RSA算法的破解难度会越来越低,因此需要用更安全的加密算法来代替,下面我们来介绍更为安全的ECC公钥加密算法
什么是ECC
ECC是Elliptic Curve Cryptography(椭圆曲线密码学)的缩写,是一种基于椭圆曲线数学的公开密钥加密算法,其本质是利用离散对数问题实现加密。
ECC的主要优势,是在使用更小的密钥的同时,提供更快的性能和更高等级的安全。
什么是椭圆曲线
Wolfram MathWorld(线上数学百科全书,http://mathworld.wolfram.com) 给出了非常精准的定义:
一条椭圆曲线就是一组被 y^2 = x^3 + ax + b 定义的且满足 4a^3 + 27b^2 ≠ 0 的点集。
4a^3 + 27b^2 ≠ 0 这个限定条件是为了保证曲线不包含奇点(在数学中是指曲线上任意一点都存在切线)。
椭圆曲线示例图:

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                   不同的椭圆曲线对应不同的形状(b=1,a从2到-3)

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      左(带锐点):y^2 = x^3
     右(曲线自交):y^2 = x^3 -3x + 2
      都不是有效的椭圆曲线

关于阿贝尔群(abelian group)

阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一,是一种代数结构,由一个集合以及一个二元运算所组成。
如果一个集合或者运算是群的话,就必须满足以下条件(+ 表示二元运算):
1、封闭性(closure),如果a和b被包含于群,那么a+b也一定是群的元素;
2、结合律(associativity);
3、存在一个单位元(identity element)0,0与任意元素运算不改变其值的元素,即 a+0 = 0+a = a;
4、每个元素都存在一个逆元(inverse);
5、交换律(commutativity),即 a+b = b+a;

椭圆曲线中的阿贝尔群


我们可以在椭圆曲线上定义一个群:
1、群中的元素就是椭圆曲线上的点;
2、单位元就是无穷处的点0;
3、相反数P,是关于X轴对称的另一边的点;
4、二元运算规则定义如下:取一条直线上的三点(这条直线和椭圆曲线相交的三点),P, Q, R(皆非零),他们的总和等于0,
P+Q+R=0。

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如果P, Q, R在一条直线上的话,他们满足:

                P+(Q+R)=Q+(P+R)=R+(P+Q)=⋯=0。

当P,Q点为同一点时,P=Q,满足:

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这样,我们可以直观的证明:+运算符是符合交换律和结合律的,这是一个阿贝尔群。
因为阿贝尔群满足交换律和结合律,所以点P和点-R的二元运算结果必会在曲线上,即P+P+P的结果必会在曲线上的另一点Q,
以此类推,可以得出得出:

          Q=kP(k个相同的点P进行二元运算(数乘),记做kP)

离散对数问题

前文中有提到离散对数问题,我们熟悉的RSA算法,是基于大数的质因数分解,即对两个质数相乘容易,而将其合数分解很难的这个特点进行加密。
而ECC算法是在有限域Fp定义公式:Q=kP,已知大数k和点P的情况下,很容易求点Q,但是已知的点P、点Q,却很难求得k,这就是经典的离散对数问题,ECC算法正是利用该特点进行加密,点Q为公钥,大数k为私钥,点P为基点,和RSA最大的实际区别,主要是密钥长度

椭圆曲线加密算法原理

描述一条Fp上的椭圆曲线,常用到六个参量:T=(p,a,b,n,x,y)。
(p 、a 、b) 用来确定一条椭圆曲线,p为素数域内点的个数,a和b是其内的两个大数;
x,y为G基点的坐标,也是两个大数;
n为点G基点的阶;
以上六个量就可以描述一条椭圆曲线,有时候我们还会用到h(椭圆曲线上所有点的个数p与n相除的整数部分)。
现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程:
1、选定一条椭圆曲线 Ep(a,b) 并取椭圆曲线上一点,作为基点P。
2、选择一个大数k作为私钥,并生成公钥 Q=kP。
3、将 Ep(a,b) 和点Q、P传给用户。
4、用户接到信息后 ,将待传输的明文编码到Ep(a,b)上的一点M,并产生一个随机整数r。
5、公钥加密(密文C是一个点对):
C={rP, M+rQ}
6、私钥解密(M + rQ - k(rP) ,解密结果就是点M),公式如下:

        M + rQ - k(rP) = M + r(kP) - k(rP) = M

7、对点M进行解码就可以得到明文
假设在加密过程中,有一个第三者H,H只能知道椭圆曲线 Ep(a,b)、公钥Q、基点P、密文点C,而通过公钥Q、基点P求私钥k或者通过密文点C、基点P求随机数r都是非常困难的,因此得以保证数据传输的安全。

ECC应用

因为在安全性、加解密性能、网络消耗方面有较大优势,ECC加密算法大有取代RSA成为下一代主流加密算法的趋势。如今ECC应用范围很广,在TLS、区块链(比特币、以太坊等等)、SM2国密算法、证书、银行政府机构等许多方面都有大量应用。

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