leetcode384. Shuffle an Array

raledong

题目要求

Shuffle a set of numbers without duplicates.

Example:

// Init an array with set 1, 2, and 3.
int[] nums = {1,2,3};
Solution solution = new Solution(nums);

// Shuffle the array [1,2,3] and return its result. Any permutation of [1,2,3] must equally likely to be returned.
solution.shuffle();

// Resets the array back to its original configuration [1,2,3].
solution.reset();

// Returns the random shuffling of array [1,2,3].
solution.shuffle();

实现shuffle和reset方法,分别能够完成数组的随机打乱和还原。随机打乱即该数组中元素的所有排列组合结果都能够以等比例的概率输出。

思路和代码

直观的思路来说,我们会将数组复制一份,并根据数组的长度来生成随机数,并获得该随机数下标上的值放在新的位置上。本文将详细讲解一下网上的另一种解法,即Fisher–Yates算法,该算法能够用O(n)的时间随机打乱一个数组。

该算法的步骤如下:

  1. 从数组中随机选择一个数字,与数组最后一个数字交换
  2. 从前n-1个元素中随机选择一个数字,与第n-1个数字交换
  3. 从前n-2个元素中随机选择一个数字,与第n-2个数字交换...

重复以上步骤,直到数组第一个元素。

下面解释一下证明,即为何每个该结果是等概率的排列组合结果。

第一步操作,对于数组中所有的元素,均有1/n的概率交换到最后一个位置上

第二步操作可以分为两种场景。

  • 场景一:选中进行交换的元素为之前的最后一个元素,则该元素被选中的概率等于上一回合中该元素被交换到别的位置的概率乘以在当前n-1个元素中被选中的概率,即((n-1)/n) * (1/n-1) = 1/n
  • 场景二:选中进行交换的元素为其余的n-1个元素,则该元素被选中的概率等于上一回合中该元素没被选中交换到最后一个位置的概率乘以在当前n-1个元素中被选中的概率,即((n-1)/n * (1/n-1)) = 1/n

第三步操作可以分为三种场景:

  • 场景一:选中进行交换的元素为最后一个元素,则该元素被选中的概率等于该元素被交换到前面n-2个元素的概率乘以该元素在当前n-1个元素中被选中的概率。该元素没有被交换到前面n-2个元素只有两种可能,即位于原来的位置,或是被交换到倒数第二个位置,因此交换到前面n-2个元素的概率为(1 - 1/n - (n-1)/n * 1 / (n-1)) = (n-2) / n , 因此最终概率为(n-2)/n * 1/(n-2) = 1/n
  • 场景二:选中进行交换的元素为倒数第二个元素,则该元素被选中的概率等于该元素被交换到前面n-2个元素的概率乘以该元素在当前n-2个元素中被选中的概率。该元素没有被交换到前面n-2个元素只有两种可能,即该元素被交换至最后一个元素,或是依然位于原来的位置,因此交换到前面n-2个元素的概率为(1 - 1/n - (n-1)/n * 1 / (n-1)) = (n-2) / n, 因此最终概率为(n-2)/n * 1/(n-2) = 1/n
  • 场景三:选中进行交换的元素为剩余的其他元素,则该元素被选中的概率没有被交换到最后两个位置上,最终概率也可以计算出来为1/n

综上,这种方法能够保证每一个元素可以等概率出现在任何位置上。代码如下:

    private int[] nums;
    private Random random;
    public Solution(int[] nums) {
        this.nums = nums;
        random = new Random();
    }
    
    /** Resets the array to its original configuration and return it. */
    public int[] reset() {
        return this.nums;
    }
    
    /** Returns a random shuffling of the array. */
    public int[] shuffle() {
        if(nums == null) return null;
        int[] result = nums.clone();
        for(int j = 1; j < result.length; j++) {
            int i = random.nextInt(j + 1);
            swap(result, i, j);
        }
        return result;
    }
    
    private void swap(int[] a, int i, int j) {
        int t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }
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