你知道吗?2和10的整数次幂永不相等

Liutos

序言

《编码》这本书曾经在我的豆瓣“想读”列表中躺了很久,大概在今年年初才开始看。但读着读着发现书中的电路图越来越多,而我的阅读热情也随之被慢慢浇灭。五月初的时候,终究还是把它合上,并在豆瓣上羞愧难当地将其标注为“读过”。

抛开晦涩的电路图不谈,书中有一句话吸引了我的注意力

加了标注后的《编码》一书中的原话.jpg

第一次读到这里时,我想作者应当会在下一段给出具体的证明过程——结果居然没有。难道作者觉得两侧的空白太小了,不足以写下他所发现的美妙证法?

受好奇心的驱使,我便试着证明书中的这个结论。

不过正式开始前,还得明确一下命题:对于任意的正整数aba不等于b),10的a次幂和2的b次幂不相等。

先证明一条引理

为了证明上面的命题,需要先证明一条引理:对于任意的正整数a,5的a次幂是一个奇数。可以用数学归纳法来证明。

首先验证a为1时命题成立。由于5的1次幂为5,并且5是一个奇数,所以命题成立;

接着,假设ak时命题成立,将5的k次幂写成2n+1的形式,当ak+1时,

5的k次幂的变换.png

因此,5的k次幂也是一个奇数。因此,该命题对于任意的正整数a都是成立的。

同理可证:对于任意的正整数a,2的a次幂是偶数。

反证法证明原命题

假设存在正整数abb大于a),使得10的a次幂与2的b次幂相等

待证明的等式.png

将10分解为2和5的积,再两边同时除以2的a次幂

变换为存在矛盾的形式.png

等式的左边和右边分别是5的正整数次幂与2的正整数次幂。由前一节的引理可知,左边是奇数,右边是偶数,两者不可能相等,与上述等式产生矛盾。因此,原假设不成立,命题得证。

后记

我最开始的想法很复杂。虽然也是采用反证法,但我将等式做了如下变换

复杂的方法,基于无理数.png

然后试图证明以2为底的10的对数不是有理数,和等式右边不相等。不过这个方法于我而言太难了,便没有继续尝试下去。

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