头图

线性代数在前端中的应用(二):实现鼠标拖拽旋转元素、Canvas图形

而井
English

简介

看到文章标题,很多同学可能会疑惑,实现元素的旋转,只需要求得旋转角度,然后用CSS中的transform:rotate(${旋转的角度}deg)就可以实现旋转的需求,为什么要用到线性代数的知识?

我觉得用线性代数的知识实现元素拖拽旋转的理由如下:

  • 矩阵中可以同时包含旋转、缩放、平移等信息,不需要进行冗余的计算和属性更新;
  • 更加通用。线性代数的知识作为一种数学知识,是抽象的、通用的,很多GUI编程技术都提供了线性代数矩阵实现元素旋转、缩放、平移等效果,例如CSStransform属性的matrix()Canvas中提供的setTransform()API,安卓Canvas类提供的setMatrix()方法。学会线性代数矩阵旋转,就可以在各个GUI编程技术中通吃此类需求。

拖拽旋转的原理分析

拖拽旋转本质上是绕着原点旋转,这个原点就是物体的中心。让我们用一个矩形来抽象表达这个旋转过程,以矩形中心为原点\(O\),建立\(2D\)坐标系,取一点为旋转起始点\(A\),取一点为旋转结束点\(A'\),将\(A\)、\(A'\)与\(O\)连接起来可得向量\(\overrightarrow{OA}\)、向量\(\overrightarrow{OA'}\),向量\(\overrightarrow{OA}\)和向量\(\overrightarrow{OA'}\)之间的夹角\(\theta\),可得如下图:

在JavaScript中Math.atan2()API可以返回从\(原点(0,0)\)到\((x,y)点\)的线段与\(x轴\)正方向之间的平面角度(弧度值),所以可得求取两个向量之间的夹角弧度的代码如下:

/**
 * 计算向量夹角,单位是弧度
 * @param {Array.<2>} av 
 * @param {Array.<2>} bv 
 * @returns {number}
 */
    function computedIncludedAngle(av, bv) {
        return Math.atan2(av[1], av[0]) - Math.atan2(bv[1], bv[0]);
    }

旋转矩阵

在前文线性代数在前端中的应用(一):实现鼠标滚轮缩放元素、Canvas图片和拖拽中,我们知道了缩放元素可以利用缩放矩阵,那么旋转元素也可以利用旋转矩阵,那么怎么推导出旋转矩阵就成了关键。由于我们目前只关心平面维度上的旋转,所以只需要求得\(2D\)维度中的旋转矩阵即可。

假设在\(2D\)坐标轴中有和\(X轴\)、\(Y轴\)分别平行的基向量\(p\)和基向量\(q\),它们之间的夹角为\(90^{\circ}\),将基向量\(p\)和基向量\(q\)同时旋转\(\theta度\),可以得到基向量\(p'\)和基向量\(q'\),根据\(三角函数\)即可以推导出\(p\)、\(p'\)的值。

利用基向量构造矩阵,\(2D\)旋转矩阵就如下:

$$ R(\theta)=\left[ \begin{matrix} p^{'} \\ q^{'} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] $$

转化为\(4\times4齐次矩阵\)则为:

$$ R(\theta)=\left[ \begin{matrix} p^{'} \\ q^{'} \\ r^{'}\\ w^{'} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta & 0 & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] $$

CSS中实现矩阵变化的matrix()函数

CSS函数 matrix() 指定了一个由指定的 6 个值组成的 2D 变换矩阵。
matrix(a, b, c, d, tx, ty) 是 matrix3d(a, b, 0, 0, c, d, 0, 0, 0, 0, 1, 0, tx, ty, 0, 1) 的简写。

这些值表示以下函数:

matrix( scaleX(), skewY(), skewX(), scaleY(), translateX(), translateY() )

例如我们要一个div元素放大两倍,水平向右平移100px,垂直向下平移200px,可以把CSS写成:

div {
    transform:matrix(2, 0, 0, 2, 100, 200);
}

由于我们采用的是\(4\times4齐次矩阵\)进行矩阵变换计算,所以采用\(RP^{3}下的齐次坐标\)。值得注意的是,关于\(齐次坐标\)我们还可以写成下面这种形式,本文我们将采用这种形式:

$$ \left[ \begin{matrix} a & c & 0 & 0 \\ b & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ tx & ty & 0 & 1 \end{matrix} \right] $$

矩阵计算库gl-matrix

gl-matrix是一个用JavaScript语言编写的开源矩阵计算库。我们可以利用这个库提供的矩阵之间的运算功能,来简化、加速我们的开发。为了避免降低复杂度,后文采用原生ES6的语法,采用<script>标签直接引用JS库,不引入任何前端编译工具链。

鼠标拖拽旋转Div元素

旋转效果

代码实现

index.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>矩阵旋转Div元素</title>
    <link rel="stylesheet" href="./index.css">
</head>
<body>
    <div class="shape_controls">
        <div class="shape_anchor"></div>
        <div class="shape_rotater"></div>
    </div>
    <script src="./gl-matrix-min.js"></script>
    <script src="./index.js"></script>
</body>
</html>

index.css

*,
*::before,
*::after {
    box-sizing: border-box;
}

body {
    position: relative;
    margin: 0;
    padding: 0;
    min-height: 100vh;
}

.shape_controls {
    position: absolute;
    left: 50%;
    top: 50%;
    transform: translate(-50%, -50%);
    width: 200px;
    height: 200px;
    border: 1px solid rgb(0, 0, 0);
    z-index: 1;
}

.shape_controls .shape_anchor {
    position: absolute;
    left: 50%;
    top: 0%;
    transform: translate(-50%, -50%);
    width: 8px;
    height: 8px;
    border: 1px solid rgb(6, 123, 239);
    border-radius: 50%;
    background-color: rgb(255, 255, 255);
    z-index: 2;
}

.shape_controls .shape_rotater {
    position: absolute;
    left: 50%;
    top: -30px;
    transform: translate(-50%, 0);
    width: 8px;
    height: 8px;
    border: 1px solid rgb(6, 123, 239);
    border-radius: 50%;
    background-color: rgb(255, 255, 255);
    z-index: 2;
}

.shape_controls .shape_rotater:hover {
    cursor: url(./rotate.gif) 16 16, auto;
}

.shape_controls .shape_rotater::after {
    position: absolute;
    content: "";
    left: 50%;
    top: calc(100% + 1px);
    transform: translate(-50%, 0);
    height: 18px;
    width: 1px;
    background-color: rgb(6, 123, 239);
}

rotate.gif

index.js

document.addEventListener("DOMContentLoaded", () => {
    const $sct = document.querySelector(".shape_controls");
    const $srt = document.querySelector(".shape_controls .shape_rotater");
    const {left, top, width, height} = $sct.getBoundingClientRect();
    // 原点坐标
    const origin = [left + width / 2 , top + height / 2];
    // 是否旋转中
    let rotating = false;
    // 旋转矩阵
    let prevRotateMatrix = getElementTranformMatrix($sct);
    let aVector = null;
    let bVector = null;

    /**
     * 获取元素的变换矩阵
     * @param {HTMLElement} el 元素对象
     * @returns {Array.<16>} 
     */
    function getElementTranformMatrix(el) {
        const matrix = getComputedStyle(el)
                        .transform
                        .replace("matrix(", "")
                        .replace(")", "")
                        .split(",")
                        .map(item => parseFloat(item.trim()));
        return new Float32Array([
            matrix[0], matrix[2], 0, 0,
            matrix[1], matrix[3], 0, 0,
            0, 0, 1, 0,
            matrix[4], matrix[5], 0, 1
        ]);
    }

    /**
     * 给元素设置变换矩阵
     * @param {HTMLElement} el 元素对象
     * @param {Array.<16>} hcm 齐次坐标4x4矩阵 
     */
    function setElementTranformMatrix(el, hcm) {
        el.setAttribute("style", `transform: matrix(${hcm[0]} ,${hcm[4]}, ${hcm[1]}, ${hcm[5]}, ${hcm[12]}, ${hcm[13]});`);
    }

    /**
     * 计算向量夹角,单位是弧度
     * @param {Array.<2>} av 
     * @param {Array.<2>} bv 
     * @returns {number}
     */
    function computedIncludedAngle(av, bv) {
        return Math.atan2(av[1], av[0]) - Math.atan2(bv[1], bv[0]);
    }

    // 监听元素的点击事件,如果点击了旋转圆圈,开始设置起始旋转向量
    $srt.addEventListener("mousedown", (e) => {
        const {clientX, clientY} = e;
        rotating = true;
        aVector = [clientX - origin[0], clientY - origin[1]];
    });

    // 监听页面鼠标移动事件,如果处于旋转状态中,就计算出旋转矩阵,重新渲染
    document.addEventListener("mousemove", (e) => {
        // 如果不处于旋转状态,直接返回,避免不必要的无意义渲染
        if (!rotating) {
            return;
        }
        // 计算出当前坐标点与原点之间的向量
        const {clientX, clientY} = e;
        bVector = [clientX - origin[0], clientY - origin[1]];
        // 根据2个向量计算出旋转的弧度
        const angle  = computedIncludedAngle(aVector, bVector);

        const o = new Float32Array([
            0, 0, 0, 0,
            0, 0, 0, 0,
            0, 0, 0, 0,
            0, 0, 0, 0
        ]);
        // 旋转矩阵
        const rotateMatrix = new Float32Array([
            Math.cos(angle), Math.sin(angle), 0, 0,
            -Math.sin(angle), Math.cos(angle), 0, 0,
            0, 0, 1, 0,
            0, 0, 0, 1
        ]);
        // 把当前渲染矩阵根据旋转矩阵,进行矩阵变换,得到新矩阵
        prevRotateMatrix = glMatrix.mat4.multiply(o, prevRotateMatrix, rotateMatrix); 
        // 给元素设置变换矩阵,完成旋转
        setElementTranformMatrix($sct, prevRotateMatrix);
        aVector = bVector;
    });

    // 鼠标弹起后,移除旋转状态
    document.addEventListener("mouseup", () => {
        rotating = false;
    })    
});

鼠标拖拽旋转Canvas图形

旋转效果

代码实现

index.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>矩阵旋转Canvas图形</title>
    <link rel="stylesheet" href="./index.css">
</head>
<body>
    <canvas id="app"></canvas>
    <script src="./gl-matrix-min.js"></script>
    <script src="./index.js"></script>
</body>
</html>

index.css

*,
*::before,
*::after {
    box-sizing: border-box;
}

body {
    margin: 0;
    padding: 0;
    overflow: hidden;
}

canvas {
    display: block;
}

.rotating,
.rotating div {
    cursor: url(./rotate.gif) 16 16, auto !important;
}

index.js

document.addEventListener("DOMContentLoaded", () => {
    const pageWidth = document.documentElement.clientWidth;
    const pageHeight = document.documentElement.clientHeight;
    const $app = document.querySelector("#app");
    const ctx = $app.getContext("2d");
    $app.width = pageWidth;
    $app.height = pageHeight;
    const width = 200;
    const height = 200;
    const cx = pageWidth / 2;
    const cy = pageHeight / 2;
    const x = cx - width / 2;
    const y = cy - height / 2;
    // 原点坐标
    const origin = [x + width / 2 , y + height / 2];
    // 是否旋转中
    let rotating = false;
    let aVector = null;
    let bVector = null;
    // 当前矩阵
    let currentMatrix = new Float32Array([
        1, 0, 0, 0,
        0, 1, 0, 0,
        0, 0, 1, 0,
        origin[0], origin[1], 0, 1
    ]);

    /**
     * 计算向量夹角,单位是弧度
     * @param {Array.<2>} av 
     * @param {Array.<2>} bv 
     * @returns {number}
     */
    function computedIncludedAngle(av, bv) {
        return Math.atan2(av[1], av[0]) - Math.atan2(bv[1], bv[0]);
    }

    /**
     * 渲染视图
     * @param {MouseEvent} e 鼠标对象 
     */
    function render(e) {
        // 清空画布内容
        ctx.clearRect(0, 0, ctx.canvas.width,  ctx.canvas.height);
        ctx.save();

        // 设置线段厚度,防止在高分屏下线段发虚的问题
        ctx.lineWidth = window.devicePixelRatio;

        // 设置变换矩阵
        ctx.setTransform(currentMatrix[0], currentMatrix[4], currentMatrix[1], currentMatrix[5], currentMatrix[12], currentMatrix[13]);
        
        // 绘制矩形
        ctx.strokeRect(-100, -100, 200, 200);

        // 设置圆圈的边框颜色和填充色
        ctx.fillStyle = "rgb(255, 255, 255)";
        ctx.strokeStyle = "rgb(6, 123, 239)";
    
        // 绘制矩形上边框中间的蓝色圆圈
        ctx.beginPath();
        ctx.arc(0, -100, 4, 0 , 2 * Math.PI);
        ctx.stroke();
        ctx.fill();

        // 绘制可以拖拽旋转的蓝色圆圈
        ctx.beginPath();
        ctx.arc(0, -130, 4, 0 , 2 * Math.PI);
        ctx.stroke();
        ctx.fill();

        // 判断是否拖拽旋转的蓝色圆圈
        const {pageX, pageY} = e ? e : {pageX: -99999, pageY: -9999};
        if (ctx.isPointInPath(pageX, pageY)) {
            rotating = true;
        }
        // 绘制链接两个圆圈的直线
        ctx.beginPath();
        ctx.fillStyle = "transparent";
        ctx.strokeStyle = "#000000";
        ctx.moveTo(0, -125);
        ctx.lineTo(0, -105);
        ctx.stroke();

        ctx.restore();
    }

    // 初次渲染
    render();

    // 监听画布的点击事件,如果点击了旋转圆圈,开始设置起始旋转向量
    $app.addEventListener("mousedown", (e) => {
        // 在渲染的过程中会判断是否点击了旋转圆圈,如果是,那么rotating会被设置为true
        render(e);
        if (!rotating) {
            return;
        }
        const { offsetX, offsetY } = e;
        aVector = [offsetX - origin[0], offsetY - origin[1]];
    });

    // 监听页面鼠标移动事件,如果处于旋转状态中,就计算出旋转矩阵,重新渲染
    document.addEventListener("mousemove", (e) => {
        // 如果不处于旋转状态,直接返回,避免不必要的无意义渲染
        if (!rotating) {
            return;
        }
        // 给画布添加旋转样式
        $app.classList.add("rotating");

        // 计算出当前坐标点与原点之间的向量
        const { offsetX, offsetY } = e;
        bVector = [offsetX - origin[0], offsetY - origin[1]];
        // 根据2个向量计算出旋转的弧度
        const angle = computedIncludedAngle(aVector, bVector);

        // 旋转矩阵
        const rotateMatrix = new Float32Array([
            Math.cos(angle), Math.sin(angle), 0, 0,
            -Math.sin(angle), Math.cos(angle), 0, 0,
            0, 0, 1, 0,
            0, 0, 0, 1
        ]);
        // 把当前渲染矩阵根据旋转矩阵,进行矩阵变换,得到画布的新渲染矩阵
        currentMatrix = glMatrix.mat4.multiply(
            glMatrix.mat4.create(),
            currentMatrix,
            rotateMatrix,
        );
        render(e);
        aVector = bVector;
    });

    // 鼠标弹起后,移除旋转状态
    document.addEventListener("mouseup", () => {    
        rotating = false;
        $app.classList.remove("rotating");
    });
});
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