线性代数的笔记 Chapter1向量是什么

初商

看了3b1b视频,想试着自己讲出来。

1.在线性代数中,最根源最基础的东西就是向量。
关于向量是什么,有三种看法:物理学家 计算机学家 数学家的看法
物理学家认为向量是空间中的箭头,一个向量有两个要素:长度和方向,只要长度方向相同,那这两个向量就可以看成一个。
计算机学家认为向量是有序的数字列表,比如你要分析房价,对于一个房子你只关心面积和价格两个要素,那我就用一个包含两个数的列表来表示这个房子,因为这个列表长度为2,所以就叫他是二维的。而且将“列表”花哨地说成是“向量”。这个统计房价信息的列表就是向量。
数学家想把这一切统一,他们对向量的定义完全是集合+运算的思路!说向量可以是任何东西,这个东西需要满足它的相加 与数相乘是有意义的。

只要能进行相加和数乘的东西就是向量!那么相加数乘这两个运算一定非常重要,贯穿了linear algebra的始终。

2.上面说了向量的定义,让我们给他建立几何上的样子吧!把向量想象成坐标系中的箭头,起点为原点,这一点和物理学家眼中“自由移动”不同。既然说统一,那如何对应计算机学家的看法呢?箭头的坐标就是有序数对。
给出一个有序数对,从原点出发,如果第一个数是正数就朝x轴正方向移动,是负数就朝x轴负方向移动,然后再沿着平行于y轴的方向移动第二个数。这样,一个有序数对指导我们走到向量的终点,能唯一的得到一个向量,一个向量也只有一个终点,能唯一对应一个有序数对。
这样完美对应了呢!物理说,在二维平面上的箭头就是二维向量,二维平面就有两个数描述坐标,于是列表中就有两个数,这也对应了计算机中二维向量

3.让我们来看看运算吧
将两个向量相加,就是将第二个向量的起点移到第一个向量的终点,然后起点为第一个起点,终点为第二个终点的向量,就是两个向量的和。(向量相加似乎是linear algebra里唯一让向量离开原点的例子了)
但是为什么要这样定义?我们可以把向量看成某种特殊的运动,我走完了第一个向量指示的运动,到达了一个目的地,再按照第二个向量的指示运动。向量有两要素:方向和长度,所以我虽然不能在原点执行第二个向量的指示,但只需要保证按照相同的方向长度运动,就ok,达到第二个“运动指示”作用的结果。几何上就体现为把向量平移。
把向量看作“运动操作”,向量的和就是将两个“运动操作”打包起来。分别执行这两个运动操作和只进行一次“打包后的运动操作”,是等价的。

上面移动箭头是物理学家眼中向量加和的方法,那从计算机学家“向量是有序数对”的角度,向量和该怎么体现呢?
一个箭头是分别朝x轴方向y轴方向运动。向量和是将两个箭头首尾相接,也就是第一个向量:朝x轴运动,朝y轴运动,然后第二个向量:朝x轴运动,朝y轴运动。我们来给操作换换顺序,并合并相同的操作吧,朝x轴一下子运动“第一个第二个向量(运动指示)关于x轴”的指示,朝y轴一下子运动“向量一二关于y轴”的指示。
所以代表和向量的有序数对,第一个值是两个分向量第一个值的和,第二个值是两个分向量的二个值的和。

4.继续看看数乘运算
将一个向量乘以2,代表方向不变,让向量的长度变成两倍。乘以五分之一,代表方向不变,长度变成五分之一。乘以负三,代表方向改变,长度变成三倍。
将向量乘以一个数,我们进行的操作似乎就是拉长一下,压短一下向量,当数为负时再改变个方向。这种操作叫“缩放”“scaling”。乘以的数,用于缩放向量的数,叫作“标量”“scalar”(事实上数字在linear algebra里的用处几乎就是作为一个系数来缩放向量,我们可以说数字=标量)
有序数对的角度,缩放后的有序数对值是原来的标量倍。

阅读 298
1 声望
0 粉丝
0 条评论
1 声望
0 粉丝
文章目录
宣传栏