有向图欧拉回路的快速算法（POJ 2230题解）

高考考完开始进行算法竞赛的康复训练（好吧其实是从零开始直接学，过完高三什么都忘了T T），在POJ上做了一些水题。今天做到这道欧拉回路，很有感触，因为第一次学这个算法的时候并没有学透，今天再做才发现原来求欧拉回路的算法有这么精妙。

先讲题意吧，原文链接：http://poj.org/problem?id=2230。大意是给你一个无向图，要求找一条路径，走过每一条边恰好两次，且每次走的方向不同。很容易就能想到把这图转化为有向图求欧拉回路。题目保证一定能找到从1点出发回到1点的答案。

现在的关键就是求这个回路了，一个朴素的想法就是直接DFS，每次经过一条边就删除它，回退的时候再还原。如果经过了原图边数恰好两倍就找到了一个答案。但这个算法实在太慢，直接TLE。

现在我们考虑搜索的过程：如果不还原一个点所遍历的边，那么当这个点去掉所有边之后，再去掉这个点，剩下的图是什么？先上图，这是题目所给的样例的草图：

然后从1开始，我们丧心病狂一点，直接把1就搞掉不碰与1无关的边，反正遍历的顺序是不确定的，这么做未尝不可。那么就变成了这样：

我们看到，剩下的还是一个欧拉回路。我们可以猜想，一个欧拉回路，删掉一个点，仍然是一个欧拉回路。这个结论其实非常容易证明，随便想想就明白这是对的。进一步研究，会发现一个更普遍的结论：从一个欧拉回路中拖走一个小欧拉回路，结果也是一个欧拉回路。这个性质也很明显，而且前一个结论是后一个结论的推论。由这个结论，我们可以考虑，有公共点的两个欧拉回路其实是可以拼接的。于是下面这个搜索算法就很好理解了：

void DFS(int now)
{
    for (int p=G.Head[now];p;p=G.Pre[p])
    {
        if (!G.Vis[p])
        {
            G.Vis[p]=1;
            DFS(G.V[p]);
        }
    }
    printf("%d\n",now);
}

G是图，我用了一个邻接表，G.Vis是标记这条边是否走过。如果一条边还没走过，就标记然后走下去，关键在如果一个点已经走完了怎么办：直接输出。每次从v出发回到v，就是扒走了一个回路，根据栈的性质，这样得到的顺序其实是相反的。不过由于这题的图中边是成对出现，所以没关系，倒过来也是可以的。输出的过程就是把一个个欧拉回路拼在一起。对于无向图，通过拼接也可以得到欧拉回路，不过相对于这个算法要复杂不少。最后提供Gitcafe代码链接，如有需要参考请看：https://gitcafe.com/linmx0130/OJCode/blob/master/POJ/P2230/main.cpp