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二叉树的概念

二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

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二叉树的特点

每个结点最多有两棵子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。二叉树中每一个节点都是一个对象,每一个数据节点都有三个指针,分别是指向父母、左孩子和右孩子的指针。每一个节点都是通过指针相互连接的。相连指针的关系都是父子关系。

二叉树节点的定义

二叉树节点定义如下:

struct BinaryTreeNode
{
    int m_nValue;
    BinaryTreeNode* m_pLeft;
    BinaryTreeNode* m_pRight;
};

二叉树的五种基本形态

空二叉树
只有一个根结点
根结点只有左子树
根结点只有右子树
根结点既有左子树又有右子树

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拥有三个结点的普通树只有两种情况:两层或者三层。但由于二叉树要区分左右,所以就会演变成如下的五种形态:
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特殊二叉树

斜树

如上面倒数第一副图的第2、3小图所示。

满二叉树

在一棵二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。如下图所示:

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完全二叉树

完全二叉树是指最后一层左边是满的,右边可能满也可能不满,然后其余层都是满的。一个深度为k,节点个数为 2^k - 1 的二叉树为满二叉树(完全二叉树)。就是一棵树,深度为k,并且没有空位。

完全二叉树的特点有:

叶子结点只能出现在最下两层。

最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

倒数第二层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置。

如果结点度为1,则该结点只有左孩子。

同样结点树的二叉树,完全二叉树的深度最小。

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注意:满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不一定是满二叉树。

算法如下:

bool is_complete(tree *root)  
{  
    queue q;  
    tree *ptr;  
    // 进行广度优先遍历(层次遍历),并把NULL节点也放入队列  
    q.push(root);  
    while ((ptr = q.pop()) != NULL)  
    {  
        q.push(ptr->left);  
        q.push(ptr->right);  
    }  

    // 判断是否还有未被访问到的节点  
    while (!q.is_empty())  
    {  
        ptr = q.pop();  

        // 有未访问到的的非NULL节点,则树存在空洞,为非完全二叉树  
        if (NULL != ptr)  
        {  
            return false;  
        }  
    }  

    return true;  
}  

二叉树的性质

二叉树的性质一:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)

二叉树的性质二:深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)

二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的各个结点,并且结点的存储位置能体现结点之间的逻辑关系。

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二叉链表

既然顺序存储方式的适用性不强,那么我们就要考虑链式存储结构啦。二叉树的存储按照国际惯例来说一般也是采用链式存储结构的。

二叉树每个结点最多有两个孩子,所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法,我们称这样的链表叫做二叉链表。

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二叉树的遍历

二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中所有结点,使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

二叉树的遍历有三种方式,如下:

(1)前序遍历(DLR),首先访问根结点,然后遍历左子树,最后遍历右子树。简记根-左-右。

(2)中序遍历(LDR),首先遍历左子树,然后访问根结点,最后遍历右子树。简记左-根-右。

(3)后序遍历(LRD),首先遍历左子树,然后遍历右子树,最后访问根结点。简记左-右-根。 

前序遍历:

若二叉树为空,则空操作返回,否则先访问根结点,然后前序遍历左子树,再前序遍历右子树。

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遍历的顺序为:A B D H I E J C F K G

//先序遍历
function preOrder(node){
    if(!node == null){
        putstr(node.show()+ " ");
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }
}

中序遍历:

若树为空,则空操作返回,否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点),中序遍历根结点的左子树,然后是访问根结点,最后中序遍历右子树。

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遍历的顺序为:H D I B E J A F K C G

//使用递归方式实现中序遍历
function inOrder(node){
    if(!(node == null)){
        inOrder(node.left);//先访问左子树
        putstr(node.show()+ " ");//再访问根节点
        inOrder(node.right);//最后访问右子树
    }
}

后序遍历:

若树为空,则空操作返回,否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树,最后访问根结点。
图片描述

遍历的顺序为:H I D J E B K F G C A

//后序遍历
function postOrder(node){
    if(!node == null){
        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        putStr(node.show()+ " ");
    }
}

实现二叉查找树

二叉查找树(BST)由节点组成,所以我们定义一个Node节点对象如下:

function Node(data,left,right){
    this.data = data;
    this.left = left;//保存left节点链接
    this.right = right;
    this.show = show;
}


function show(){
    return this.data;//显示保存在节点中的数据
}

查找最大和最小值

查找BST上的最小值和最大值非常简单,因为较小的值总是在左子节点上,在BST上查找最小值,只需遍历左子树,直到找到最后一个节点

查找最小值

function getMin(){
    var current = this.root;
    while(!(current.left == null)){
        current = current.left;
    }
    return current.data;
}

该方法沿着BST的左子树挨个遍历,直到遍历到BST最左的节点,该节点被定义为:

current.left = null;

这时,当前节点上保存的值就是最小值

查找最大值

在BST上查找最大值只需要遍历右子树,直到找到最后一个节点,该节点上保存的值就是最大值。

function getMax(){
    var current = this.root;
    while(!(current.right == null)){
        current = current.right;
    }
    return current.data;
}

二叉树相关题目:http://blog.csdn.net/luckyxiaoqiang/article/details/7518888


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caochao · 2014年10月26日

二叉树按层遍历算法不错~

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caochao · 2014年10月26日

'''
按层次遍历二叉树,即从上到下,从左到右访问每一个节点
'''
def bin_tree_level_traverse( root, visit_func ):
queue = []
queue.append( root )
while queue:
node = queue.pop( 0 )
visit_func( node )
if node.lchild:
queue.append( node.lchild )
if node.rchild:
queue.append( node.rchild )

bin_tree_level_traverse( binNode1, lambda node : print( node.value ) )

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