树 - （二叉查找树，红黑树，B树）- B树

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.. 拒绝伸手复制党

以下是算法导论第十八章的学习笔记

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一个问题

如果红黑树中的每个黑结点吸收它的红子女，并把它们的子女并入自身，描述这个结果的数据结构。
(2-3-4树)
or
假设将一棵红黑树的每一个红结点 “吸收” 到它的黑色父结点中，来让红结点的子女变成黑色父结点的子女（忽略关键字的变化）。当一个黑结点的所有红色子女都被吸收后，其可能的度是多少？此结果树的叶子深度怎样

B树 - 平衡多路查找树

这段整理自July's blog 和 自己的理解
磁盘读取数据（把数据从外存调入内存）是以盘块(block)为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中，这样一次IO时间就可以。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间。

所以，在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时，首先需要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，需要一种合理高效的外存数据结构，B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树。

与红黑树不同之处在于，B树的节点可以有许多个，从几个到几千个。不过 B 树与红黑树一样，一棵含 n 个结点的 B 树的高度也为 O(logn) ，但可能比一棵红黑树的高度小许多，因为对数的底由红黑树的2变为t（t为最小度数）. 因为它的分支因子比较大。所以，B 树可以在 O(logn)时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。

B树的每个节点根据实际情况可以包括大量信息和子女（当然是不能超过磁盘块的大小，因为我们从磁盘上读取信息的时候一般都是按照磁盘块进行的，一个磁盘快对应一个节点，每次检索B树的时候遇到一个节点，也就对应一次磁盘的访问操作，如果一个节点大于了一个磁盘块，那么访问一个节点需要两次磁盘访问，效率就不行了，一般块的大小在 1k~4k 左右 ）

如图 17是磁盘文件名；小红方块表示这个 17 文件内容在硬盘中的存储位置；p1 表示指向 17 左子树的指针

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B树性质

如果是一棵 m 阶的 B 树，那么有：

• m阶树的孩子数
  $$ ceil( \frac{m}{2} ) \leq 孩子数 \leq m $$
• 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有 ceil(m / 2) 个孩子（其中 ceil(x) 是一个取上限的函数）；
• 除根结点之外的结点的关键字的个数 n 必须满足：
  $$ ceil(\frac{m}{2})-1 \leq n \leq m-1 $$（叶子结点也必须满足此条关于关键字数的性质）
• 树的高度
  $$ h = \log_{t}{(\frac{n+1}{2} + 1)} $$
  $$ t = ceil( \frac{m}{2} )$$

节点

B 树的类型和节点定义如下图所示：

查找操作

假如每个盘块可以正好存放一个 B 树的结点（正好存放 2 个文件名）。那么一个 BTNODE 结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。

下面，咱们来模拟下查找文件 29 的过程：(详细见July博客)

• 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块 1，将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 1 次】
• 此时内存中有两个文件名 17、35 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针 p2。
• 根据 p2 指针，我们定位到磁盘块 3，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 2 次】
• 此时内存中有两个文件名 26，30 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针 p2。
• 根据 p2 指针，我们定位到磁盘块 8，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 3 次】
• 此时内存中有两个文件名 28，29。根据算法我们查找到文件名 29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

分析上面的过程，发现需要 3 次磁盘 IO 操作和 3 次内存查找 操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于 IO 操作是影响整个 B 树查找效率的决定因素。

查询需要O(h)存取的磁盘页面数

插入操作

插入元素 - 检查是否存在
- 存在，不插入
- 不存在，在叶子节点插入新的元素

• 叶子节点空间足够（#<m-1）,插入

• 叶子节点空间不够（#=m-1），插入进去，然后分裂，中间节点上移

• 如果导致父节点满了，父节点再分裂；若导致根节点满了。这样导致树的高度+1

删除操作

高度为h的树，只需要O(h)次磁盘存取操作。

删除元素 - 检查BTree是否存在该节点
- 不存在，不删除
- 存在，删除之，然后判断：该元素是否有左右孩子

• 若有，则上移``孩子中相近元素 (“左孩子最右边的节点” 或 “右孩子最左边的节点”) 到该节点 - to step *

• 若无，直接删除 , - to step *

• step *: 如果删除之后或者移动之后，导致某节点的元素数目小于 ceil(m/2)-1；则需要查看某相邻的兄弟节点是否丰满 (大于 ceil(m/2)-1)

  step *1. 父节点下降一个关键字到该节点；下降
  --判断兄弟 --
  step *2.1 如果其某个相邻兄弟结点中比较丰满（元素个数大于 ceil(m/2)-1），则可以借给父结点一个元素，即将最丰满的相邻兄弟结点中上移到父节点中 上调
  step *2.2 如果其相邻兄弟都刚脱贫，即借了之后其结点数目小于 ceil(m/2)-1，则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行 合并 成一个结点，以此来满足条件 合并

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