原文链接：《图的理解及其 Java 实现》http://www.ytbean.com/posts/graph-in-java/
图的基本概念
图是什么，图是一种数据结构，一种非线性结构，所谓的非线性结构，浅显地理解的话，就是图的存储不是像链表这样的线性存储结构，而是由两个集合所组成的一种数据结构。
一个图中有两类东西，一种是结点，一种结点之间的连线。要用一种数据结构来表示的话，首先我们需要一个集合来存储所有的点，我们用V这个集合来表示（vertex），还需要另一个集合来存储所有的边，我们用E来表示(Edge)，那么一个图就可以表示为：
G = (V，E）
有的图的边是有方向的，有的是没有方向的。
（A,B）表示A结点与B结点之间无方向的边，<A,B>则表示方向为从A到B的一条边，当然，如果是<B,A>，则方向相反。因此从边的方向我们就可以把图分为有向图和无向图两种。
一个图中的元素有很多，例如：
完全图，邻接节点，结点的度，路径，权，路径长度，子图，连通图和强连通图，生成树，简单路径和回路...
本文只谈到一些容易混淆的概念
完全图，连通图，与强连通图
完全图可分为有向完全图和无向完全图两种，如果一个图的任意两个结点之间有且只有一条边，则称此图为无向完全图，若任意两个结点之间有且只有方向相反的两条边，则称为有向完全图。
那么连通图与完全图有什么区别呢？连通图是指在无向图中，若图中任意一对结点之间都有路径可达，则称这个无向图是连通图，而强连通图则是对应于有向图来说的，其特点与连通图是一样的。只不过是有向的，所以加了"强"。
连通图与完全图的区别就是，完全图要求任意两点之间有边，而连通图则是要求有路径。边和路径是有区别的。
邻接结点
一个结点的邻接节点，对于无向图来说，就是与这个结点相连的结点，至少有一个。
对于有向图来说，由于边是有方向的，所以一个结点的邻接节点是指以这个结点为开头，所指向的那些结点。
结点的度
度是针对结点来说的， 又分为出度和入度，看到“出度入度”，我们不难想到这是与边和边的方向有关的。
对于无向图来说，没有出度入度之分，一个结点的度就是经过这个结点的边的数目(或者是与这个结点相关联的边的数目)，对于有向图来说，出度就是指以这个结点为起始的边的条数（箭头向外），入度则是以这个点为终点的边的条数（箭头向内）。
出 = 箭头向外，入 = 箭头向内
权
权是指一条边所附带的数据信息，比如说一个结点到另一个结点的距离，或者花费的时间等等都可以用权来表示。带权的图也称为网格或网。
子图
跟一个集合有子集一样，图也有子图。可以类比理解。
存储结构
要存储一个图，我们知道图既有结点，又有边，对于有权图来说，每条边上还带有权值。常用的图的存储结构主要有以下二种：
- 邻接矩阵
- 邻接表
邻接矩阵
我们知道，要表示结点，我们可以用一个一维数组来表示，然而对于结点和结点之间的关系，则无法简单地用一维数组来表示了，我们可以用二维数组来表示，也就是一个矩阵形式的表示方法。
我们假设A是这个二维数组，那么A中的一个元素aij不仅体现出了结点vi和结点vj的关系，而且aij的值正可以表示权值的大小。
以下是一个无向图的邻接矩阵表示示例：
从上图我们可以看到，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，也一定是对称矩阵。且其左上角到右下角的对角线上值为零（对角线上表示的是相同的结点）
有向图的邻接矩阵是怎样的呢？
对于带权图，aij的值可用来表示权值的大小，上面两张图是不带权的图，因此它们值都是1。
邻接表
我们知道，图的邻接矩阵存储方法用的是一个n*n的矩阵，当这个矩阵是稠密的矩阵（比如说当图是完全图的时候），那么当然选择用邻接矩阵存储方法。
可是如果这个矩阵是一个稀疏的矩阵呢，这个时候邻接表存储结构就是一种更节省空间的存储结构了。
对于上文中的无向图，我们可以用邻接表来表示，如下：
每一个结点后面所接的结点都是它的邻接结点。
邻接矩阵与邻接表的比较
当图中结点数目较小且边较多时，采用邻接矩阵效率更高。
当节点数目远大且边的数目远小于相同结点的完全图的边数时，采用邻接表存储结构更有效率。
邻接矩阵的Java实现
邻接矩阵模型类
邻接矩阵模型类的类名为AMWGraph.java，能够通过该类构造一个邻接矩阵表示的图，且提供插入结点，插入边，取得某一结点的第一个邻接结点和下一个邻接结点。
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
/**
* @description 邻接矩阵模型类
* @author beanlam
* @time 2015.4.17
*/
public class AMWGraph {
private ArrayList vertexList;//存储点的链表
private int[][] edges;//邻接矩阵，用来存储边
private int numOfEdges;//边的数目
public AMWGraph(int n) {
//初始化矩阵，一维数组，和边的数目
edges=new int[n][n];
vertexList=new ArrayList(n);
numOfEdges=0;
}
//得到结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i的数据
public Object getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1,v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(Object vertex) {
vertexList.add(vertexList.size(),vertex);
}
//插入结点
public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
edges[v1][v2]=weight;
numOfEdges++;
}
//删除结点
public void deleteEdge(int v1,int v2) {
edges[v1][v2]=0;
numOfEdges--;
}
//得到第一个邻接结点的下标
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j=0;j<vertexList.size();j++) {
if (edges[index][j]>0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来取得下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++) {
if (edges[v1][j]>0) {
return j;
}
}
return -1;
}
}邻接矩阵模型类的测试
接下来根据下面一个有向图来设置测试该模型类
TestAMWGraph.java测试程序如下所示：
/**
* @description AMWGraph类的测试类
* @author beanlam
* @time 2015.4.17
*/
public class TestAMWGraph {
public static void main(String args[]) {
int n=4,e=4;//分别代表结点个数和边的数目
String labels[]={"V1","V1","V3","V4"};//结点的标识
AMWGraph graph=new AMWGraph(n);
for(String label:labels) {
graph.insertVertex(label);//插入结点
}
//插入四条边
graph.insertEdge(0, 1, 2);
graph.insertEdge(0, 2, 5);
graph.insertEdge(2, 3, 8);
graph.insertEdge(3, 0, 7);
System.out.println("结点个数是："+graph.getNumOfVertex());
System.out.println("边的个数是："+graph.getNumOfEdges());
graph.deleteEdge(0, 1);//删除<V1,V2>边
System.out.println("删除<V1,V2>边后...");
System.out.println("结点个数是："+graph.getNumOfVertex());
System.out.println("边的个数是："+graph.getNumOfEdges());
}
}控制台输出结果如下图所示：
遍历
图的遍历，所谓遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略：
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
深度优先
深度优先遍历，从初始访问结点出发，我们知道初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点。总结起来可以这样说：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
我们从这里可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
具体算法表述如下：
- 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
- 查找结点v的第一个邻接结点w。
- 若w存在，则继续执行4，否则算法结束。
- 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
- 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
例如下图，其深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
广度优先
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。
具体算法表述如下：
- 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
- 结点v入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
- 出队列，取得队头结点u。
- 查找结点u的第一个邻接结点w。
- 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
1). 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
2). 结点w入队列
3). 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。
如下图，其广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
Java 实现
在原先类的基础上增加了两个遍历的函数，分别是 depthFirstSearch() 和 broadFirstSearch() 分别代表深度优先和广度优先遍历。
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
/**
* @description 邻接矩阵模型类
* @author beanlam
* @time 2015.4.17
*/
public class AMWGraph {
private ArrayList vertexList;//存储点的链表
private int[][] edges;//邻接矩阵，用来存储边
private int numOfEdges;//边的数目
public AMWGraph(int n) {
//初始化矩阵，一维数组，和边的数目
edges=new int[n][n];
vertexList=new ArrayList(n);
numOfEdges=0;
}
//得到结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i的数据
public Object getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1,v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(Object vertex) {
vertexList.add(vertexList.size(),vertex);
}
//插入结点
public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
edges[v1][v2]=weight;
numOfEdges++;
}
//删除结点
public void deleteEdge(int v1,int v2) {
edges[v1][v2]=0;
numOfEdges--;
}
//得到第一个邻接结点的下标
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j=0;j<vertexList.size();j++) {
if (edges[index][j]>0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来取得下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++) {
if (edges[v1][j]>0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//私有函数，深度优先遍历
private void depthFirstSearch(boolean[] isVisited,int i) {
//首先访问该结点，在控制台打印出来
System.out.print(getValueByIndex(i)+" ");
//置该结点为已访问
isVisited[i]=true;
int w=getFirstNeighbor(i);//
while (w!=-1) {
if (!isVisited[w]) {
depthFirstSearch(isVisited,w);
}
w=getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对外公开函数，深度优先遍历，与其同名私有函数属于方法重载
public void depthFirstSearch() {
for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {
//因为对于非连通图来说，并不是通过一个结点就一定可以遍历所有结点的。
if (!isVisited[i]) {
depthFirstSearch(isVisited,i);
}
}
}
//私有函数，广度优先遍历
private void broadFirstSearch(boolean[] isVisited,int i) {
int u,w;
LinkedList queue=new LinkedList();
//访问结点i
System.out.print(getValueByIndex(i)+" ");
isVisited[i]=true;
//结点入队列
queue.addlast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
u=((Integer)queue.removeFirst()).intValue();
w=getFirstNeighbor(u);
while(w!=-1) {
if(!isVisited[w]) {
//访问该结点
System.out.print(getValueByIndex(w)+" ");
//标记已被访问
isVisited[w]=true;
//入队列
queue.addLast(w);
}
//寻找下一个邻接结点
w=getNextNeighbor(u, w);
}
}
}
//对外公开函数，广度优先遍历
public void broadFirstSearch() {
for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {
if(!isVisited[i]) {
broadFirstSearch(isVisited, i);
}
}
}
}上面的public声明的depthFirstSearch()和broadFirstSearch()函数，是为了应对当该图是非连通图的情况，如果是非连通图，那么只通过一个结点是无法完全遍历所有结点的。
下面根据上面用来举例的图来构造测试类：
public class TestSearch {
public static void main(String args[]) {
int n=8,e=9;//分别代表结点个数和边的数目
String labels[]={"1","2","3","4","5","6","7","8"};//结点的标识
AMWGraph graph=new AMWGraph(n);
for(String label:labels) {
graph.insertVertex(label);//插入结点
}
//插入九条边
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
graph.insertEdge(1, 0, 1);
graph.insertEdge(2, 0, 1);
graph.insertEdge(3, 1, 1);
graph.insertEdge(4, 1, 1);
graph.insertEdge(7, 3, 1);
graph.insertEdge(7, 4, 1);
graph.insertEdge(6, 2, 1);
graph.insertEdge(5, 2, 1);
graph.insertEdge(6, 5, 1);
System.out.println("深度优先搜索序列为：");
graph.depthFirstSearch();
System.out.println();
System.out.println("广度优先搜索序列为：");
graph.broadFirstSearch();
}
}运行后控制台输出如下:
**粗体** _斜体_ [链接](http://example.com) `代码` - 列表 > 引用。你还可以使用@来通知其他用户。