问题起源于一个简单的算法题:已知三点求最小多边形面积(不会超过100边形)。
步骤如下:

  1. 求三边长a,b,c,然后用海伦公式求面积
  2. 利用 r = (abc)/4s 公式求外接圆半径
  3. 求三条边的圆心角,及其最大公约角
  4. 最大的公约角求得边数最小的圆内接多边形,也就是最小的多边形面积

重点在第三步,圆心角用弧度表示都是小数,初等数学里小数没有最大公约数的概念。但是这道题目网上都有这个步骤,算法仍然基于辗转相除法,但是会自定义一个浮点相等的函数,如下:

def feq(x, y):
    return fabs(x - y) < 1e-2

def _fgcd(x, y):
    if feq(x, 0):
        return y
    if feq(y, 0):
        return x
    return _fgcd(y, x%y)

其中feq函数判断两数相等的规则是二者差值的绝对值小于0.01, 使用这个精度代码就可以accept,使用1e-6这个高精度代码就会WA,然而这个精度设置的理由在哪里?

我写了一段测试代码,测试不同精度对结果的影响(有部分是多余的,懒的改了):

def feq(x, y, e):
    return fabs(x - y) < e

def fgcd(iters, e):
    def _fgcd(x, y):
        if feq(x, 0, e):
            return y
        if feq(y, 0, e):
            return x
        return _fgcd(y, x%y)
    return reduce(_fgcd, iters)

def main():
    a = [1.23456, 6.54321]
    for i in range(1,7):
        e = 10 ** (-i)
        print e, fgcd(a,e)

得到的结果是:

0.1 0.12333
0.01 0.12333
0.001 0.12333
0.0001 0.000120000002036
1e-05 2.99999969435e-05
1e-06 2.99999969435e-05

可以发现,不同精度的选择对于结果的影响非常大。我们可以观察到最大公约数的fgcd的结果一定是大于精度e的。
这也是易于理解的,比精度小的值就被认为是0了,而0是不能成为公约数的。

问题到这里似乎有点眉目,我们回顾一下题目,为什么精度一定要是0.01呢?
似乎有一个条件我们一直没有用到——不会超过100边形,看到这里你可能就明白了。
弧度越小,边数越多,而题目指明了边数不会超过100,因而我们可以求得一个弧度的最小值:2π/100。这个值近似于0.06283185307179587,也就是说我们求得最大公约角度不会小于0.06,但是如果我们比较精度设置得小于0.01,那么极有可能会得到小于0.06的最大公约角,因此网上答案大部分设置为0.01。

细心的网友会想,比较精度设置为0.01得到的结果仍然有可能小于0.06啊,是不是你理解的根本不对呢?
为了验证我的想法,我把比较精度设置为0.06,再次提交答案,仍然accept,但是把比较精度设置为0.07就WA了。

比较精度设置为0.01仍然通过检测,我认为是数据集自身的原因,它本身没有那些特别不凑巧的小数,使用0.01和0.06可以得到相同的结果。

这个只是我自己的理解,也许根本也就不对,如果你有更好的见解,欢迎及时评论。
问题的原题在:http://codeforces.com/problemset/problem/1/C, 大家可以试一下。


libraco
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