凸优化

凸优化

凸优化的基本概念

仿射集

定义:通过集合C中任意两个不同点的直线仍然在集合C内，则称集合C为仿射集。
$$\forall \theta \in R , \forall x_1,x_2 \in C, $ 则$ x = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$

仿射包

包含集合C的最小仿射集。
$$aff C = \{\sum \theta_ix_i|x_i \in C , \sum \theta_i =1 \}$$

内点 和 相对内点。

没看懂

凸集

集合C内的任意两点之间的线段均在集合C内，则城集合C 为凸集。
$\forall x_1,x_2 \in C, \theta \in [0,1] $，则$\theta x_1 + (1- \theta )x_2 \in C$
对比仿射集
$$\forall x_1,...,x_k \in C , \theta \in [0,1], and \sum_{i=1}^k \theta_i = 1,$$
则$\sum_{i=1}^k\theta_ix_i \in C $

两者的关系可以解释为仿射集是线，面等。而凸集是线段必须在的空间范围。显然仿射集包括凸集。

凸包

没看懂

凸锥

如果对于任意x∈C和θ≥0都有θx∈C,我们称集合C是锥.
如果集合C是锥,并且是凸的,则称C是凸锥,即对于任意$x_1,x_2 \in C$ 和 $\theta_1,\theta_2 \geq 0 $ 都有
$$\theta_1x_1 + \theta_2x_2 \in C $$

锥包
集合C内殿的所有锥组合。
$$\{\sum_{i=1}^k \theta_i x_i | x_i \in C , \theta_i \geq 0\}$$



多面体

$$ P =\{x|a^T_jx \leq b_j,c^T_ix = d_i \} $$

保突运算

集合交运算
仿射变换

线性函数 + 向量(旋转 平移 缩放)

这篇文章讲了下为什么引入齐次坐标。总结下就是用矩阵相乘的形式 表达了 线性变换(原先缩放、旋转(是相乘)，平移是相加)

仿射变换概念

透视变换

透视函数对向量进行伸缩(规范化)，使得最后一维的分量为1并舍弃。
$$P::R^{n+1} \rightarrow R^n, P(z,t) = z /t $$

投射变换

结合了透视变换 和 仿射变换