<译> 简单的代数数据类型

原文见 http://bartoszmilewski.com/20...

-> 上一篇：『积与余积』

我们已经了解了两种类型组合方式：积与余积。编程中，仅通过这两种类型就可以构造出大部分数据结构。正是因为这一点，保证了数据结构的许多性质都是可复合的。例如，如果知道如何比较两种基本类型的值是否相等，并且知道如何将这种比较方法推广到积与余积类型，那么你就能够自动派生出支持相等运算的复合类型。在 Haskell 中，大部分复合类型能够自动继承相等比较、大小比较以及与字符串的相互转换等运算能力。

现在，我们先近距离的看看编程中的积类型与和类型。

积类型

编程语言中，对于两个类型的积，官方实现是序对（Pair）。在 Haskell 中，序对是基本的类型构造子；在 C++ 中，积表现为标准库中所定义的相对复杂一些的模板。

序对并非严格可交换的：不能用序对 (Bool, Int) 去替换序对 (Int, Bool)，即使它们承载相同的信息。然而，在同构意义上，序对是可交换的——swap 可给出这种同构关系：

swap :: (a, b) -> (b, a)
swqp (x, y) = (y, x)

你可以将这两个序对看作是采用了不同的格式存储了相同的数据，这有点像大根堆 vs 小根堆。

可以通过序对的嵌套，将任意个数的类型组合到积内，但是更简单的方法是利用：嵌套的序对与元组（Tuple）相等。因为嵌套的序对与元组是同构的。如果你想将 a, b, 与 c 这三种类型组合为积，有两种办法可以做到：

((a, b), c)

或

(a, (b, c))

这两种类型是不同的——你不能将其中一种类型传递给一个需要另一种类型的函数——但是它们所包含的元素是壹壹对应的。有一个函数可以将其中一种类型映射为另一种：

alpha :: ((a, b), c) -> (a, (b, c))
alpha ((x, y), z) = (x, (y, z))

并且，这个函数是可逆的：

alpha_inv :: (a, (b, c)) -> ((a, b), c)
alpha_inv  (x, (y, z)) = ((x, y), z)

因此，这是一种同构，即用了不同的方式封装了相同的数据。

可以将积类型的构造解释为作用于类型的一种二元运算。从这个角度来看，上述的同构关系看上去有些像幺半群中的结合律：

(a * b) * c = a * (b * c)

只不过，在幺半群的情况中，这两种复合为积的方法是等价的，而上述积类型的构造方法只是在『同构条件下』等价。

如果是在同构的条件下，不再坚持严格的相等性的话，我们可以走的更远，而且还能揭示 unit 类型 () 类似于数字乘法中的 1。类型 a 的值与一个 unit 值所构成的序对，除了 a 值之外，什么也没有包含。因此，这种类型

(a, ())

与 a 是同构的。如果不相信，我们可以为它们构造出同构关系：

rho :: (a, ()) -> a
rho (x, ()) = x

rho_inv :: a -> (a, ())
rho_inv x = (x, ())

如果用形式化语言描述这些现象，可以说 Set（集合的范畴）是一个幺半群范畴，亦即这种范畴也是一个幺半群，这意味着你可以让对象相乘（在此，就是笛卡尔积）。以后我会再多讲讲幺半群范畴，并给出完整的定义。

在 Haskell 中有一种更通用的办法来定义积类型——特别是，过一会就可以看到，这种积类型可由加类型复合而成。这种积类型可以用带有多个参数的构造子来定义，例如可将序对定义为：

data Pair a b = P a b

在此，Pair a b 是由 a 与 b 参数化的类型的名字；p 是数据构造子的名字。要定义一个序对类型，只需向 Pair 类型构造子传递两个类型。要构造一个序对类型的值，只需向数据构造子 P 传递两个合适类型的值。例如，定义一个序对类型的值 stmt，其对应的序对类型为 String 与 Bool 的积：

stmt :: Pair String Bool
stmt = P "This statements is" False

上述代码的第一行是类型声明，即使用 String 与 Bool 类型替换了 Pair 泛型定义中的 a 与 b。第二行向数据构造子 P 传递了具体的字符串与布尔值，从而定义了一个序对类型的值 stmt。类型构造子用于构造类型；数据构造子用于构造值。

因为类型构造子与数据构造子的命名空间是彼此独立的，因此二者可以同名：

data Pair a b = Pair a b

如果你足够学究，就可以发现 Haskell 内建的序对类型只是这种声明的一种变体，前者将 数据构造子 Pair 替换为一个二元运算符 (,)。如果将这个二元运算符像正常的数据构造子那样用，照样能创建序对类型的值，例如：

stmt = (,) "This statement is" False

类似的，可以用 (,,) 来创建三元组，以此类推。

如果不用泛型序对或元组，也可以定义特定的有名字的积类型，例如：

data Stmt = Stmt String Bool

这个类型虽然也是 String 与 Bool 的积，但是它有自己的名字与构造子。这种风格的类型声明，其优势在于可以为相同的内容定义不同的类型，使之在名称上具备不同的意义与功能，以避免彼此混淆。

在编程中，只依赖元组以及多参数的构造子会让代码混乱，容易出错，因为只能靠我们的脑袋来记忆各个数据成员的含义。若是能对数据成员进行命名，结果会好一些。支持数据成员命名的积类型也是有的，在 Haskell 中称为记录，在 C 语言中称为 struct。

记录

来看一个简单的例子：用两个字符串表示化学元素的名称与符号，用一个整型数表示原子量，将这些信息组合到一个数据结构中。可以用元组 (String, String, Int) 来表示这个数据结构，只不过需要我们记住每个数据成员的含义。现在要用一个函数检查化学元素符号是否为其名称的前缀（例如 He 是否为 Helium 的前缀），这需要通过模式匹配从元组中抽取数据成员：

startsWithSymbol :: (String, String, Int) -> Bool
startsWithSymbol (name, symbol, _) = isPrefixOf symbol name

这样的代码很容易出错，并且也难于理解与维护。更好的办法是用记录：

data Element = Element { name         :: String
                       , symbol       :: String
                       , atomicNumber :: Int }

上述的元组与记录是同构的，因为二者之间存在可逆的转换函数：

tupleToElem :: (String, String, Int) -> Element
tupleToElem (n, s, a) = Element { name = n
                                , symbol = s
                                , atomicNumber = a }

elemToTuple :: Element -> (String, String, Int)
elemToTuple e = (name e, symbol e, atomicNumber e)

注意，记录的数据成员的名字本身也是访问这些数据成员的函数。例如，atomicNumber e 从 e 中检出 atomicNumber 的值。也就是说，atomicNumber 是个函数：

atomicNumber :: Eelement -> Int

使用 Element 的记录语法去实现 startsWithSymbol 函数，可读性更好：

startsWithSymbol :: Element -> Bool
startsWithSymbol e = isPrefixOf (symbol e) (name e)

还可以用一下 Haskell 的小花招，将 isPrefixOf 作为中缀运算符，可以让 startsWithSymbol 的实现几乎接近人类的语言：

startsWithSymbol e = symbol e `isPrefixOf` name e

原来的两对括号被省略了，因为中缀运算符的优先级低于函数调用。

和类型

就像集合的范畴中的积能产生积类型那样，余积能产生和类型。Haskell 官方实现的和类型如下：

data Either a b = Left a | Right b

类似序对，Either 在同构意义下是可交换的，也是可嵌套的，而且在同构意义下，嵌套的顺序不重要。因此，我们可以定义与三元组相等的和类型：

data OneOfThree a b c = Sinistral a | Medial b | Dextral c

可以证明 Set 对于余积而言也是个（对称的）幺半群范畴。二元运算由不相交和（Disjoint Sum）来承担，unit 元素由初始对象来扮演。用类型术语来说，我们可以将 Either 作为幺半群运算符，将 Void 作为中立元素。也就是说，可以认为 Either 类似于运算符 +，而 Void 类似于 0。这与事实是相符的，将 Void 加到和类型上，不会对和类型有任何影响。例如：

Either a Void

与 a 同构。这是因为无法为这种类型构造 Right 版本的值——不存在类型为 Void 的值。Either a Void 只能通过 Left 构造子产生值，这个值只是简单的封装了一个类型为 a 的值。这就类似于 a + 0 = a。

在 Haskell 中，和类型相当普遍，而 C++ 中的与之相对应的联合（Union）与变体（Variant）类型则不是那么常见。这是有原因的。

首先，最简单的和类型是枚举，在 C++ 中可以用 enum 来实现，在 Haskell 中与之等价的和类型是：

data Color = Red | Green | Blue

在 C++ 中相应的枚举类型为：

enum {Red, Green, Blue};

其实 Haskell 中还有更简单的和类型：

data Bool = True | False

它与 C++ 中内建的 bool 类型等价。

在 C++ 中，要控制一个值在和类型中出现与否，有各种各样的实现，需要借助一些特殊技巧以及一些『不可能』的值，例如空字串、负数、空指针等等。在 Haskell 只需使用 Maybe 类型即可解决这一问题：

data Maybe a = Nothing | Just a

Maybe 类型是两个类型的和。可以将两个构造子分开来看。只观察第一个构造子，其形态如下：

data NothingType = Nothing

它是一个叫做 Nothing 的单值的枚举。换句话说，它是一个单例，与 unit 类型 () 等价。

第二个构造子

data JustType a = Just a

的作用就是封装类型 a。

于是，我们可以将 Maybe 表示为：

data Maybe a = Either () a

在 C++ 中，更复杂一些的和类型往往要使用指针。一个指针可以为空，也可以指向某种特定类型。例如，Haskell 中的列表类型，它被定义为一个（递归）的和类型：

List a = Nil | Cons a (List a)

要将它翻译为 C++ 代码，需要使用空指针来模拟空列表：

template<class A> 
class List {
    Node<A> * _head;
public:
    List() : _head(nullptr) {}  // Nil
    List(A a, List<A> l)        // Cons
      : _head(new Node<A>(a, l))
    {}
};

注意，上述 Haskell 代码中的构造子 Nil 与 Cons，在 C++ 代码中对应于 List 构造函数的重载。虽然 List 类不需要用标签来区分和类型的两个成员，但是它需要用 nullptr 将 _head 弄成类似 Nil 这样的东西。

Haskell 与 C++ 类型之间主要的区别是 Haskell 的数据结构不可变。如果你使用特定的构造子创建了一个对象，这个对象会永远记住它是由哪个构造子创建的，以及这个构造子接受的参数是什么。因此由 Just "energy" 创建的 Maybe 对象，永远也不会变成 Nothing。类似的，一个空的列表永远都是空的，一个有三个元素的列表永远有相同的三个元素。

正是这种数据的不变性使得数据的构造是可逆的。给定一个对象，你总是能够使用它的构造函数将它大卸八块。这种解构过程可以通过模式匹配来实现。

List 类型有两个构造子，因此任意一个 List 的解构可以使用与这两个构造子相对应的模式匹配来实现。一个模式可以匹配 Nil 列表，另一个模式可匹配 Cons 构造的列表。例如，下面是一个作用于 List 的简单函数：

maybeTail :: List a -> Maybe (List a)
maybeTail Nil = Nothing
maybeTail (Cons _ t) = Just t

maybeTail 定义的第一部分使用了 Nil 构造子作为模式，以 Nothing 作为结果返回。第二部分使用了 Cons 构造子作为模式，并使用通配符 _ 对其第一个参数进行匹配，之所以如此，是因为我们对第一个参数不感兴趣。Cons 的第二个参数值会被绑定到变量 t 上（虽然称之为变量，但事实上它们是永远都不变的：一旦它们被绑定到表达式，它们就不会再变化了），返回结果是 Just t。你的 List 是如何创建的，maybeTail 总有一个『从句』能够与之相匹配。如果 List 是由 Cons 创建，那么 Cons 所接受的两个参数就会被 maybeTail 检出（第一个参数会被忽略）。

C++ 中可以通过多态类的继承方式实现更复杂一些的和类型。有共同祖先的类族可以看作是一个可变的类型，虚函数表的扮演了一个隐含的标签的角色。C++ 多态类是通过虚函数表查找要被调用的虚函数来实现多态，而 Haskell 总是可以基于构造子的模式匹配来完成同样的事。

很少看到 C++ 代码中会使用联合类型作为和类型，因为联合类型存在很多限制。譬如，你不能将 std::string 放入联合中，因为字符串具有 copy 构造函数。

类型代数

积类型与和类型，单独使用其中一个就可以定义一些有用的数据结构，但是二者组合起来或更加强大。我们再度祭出复合的能量。

先总结一下到现在为止已经见识过的东西。我们已经见识了类型系统中两种可交换的幺半群结构：用 Void 作为中性元素的和类型，用 () 作为中性元素的积类型。可以将这两种类型比喻为加法与乘法。在这个比喻中，Void 相当于 0，而 () 相当于 1。

现在来思考如何增强这个比喻。例如，与 0 相乘的结果为 0 么？换句话说，一个积类型中的一个成员是 Void，那么这个积类型与 Void 同构么？例如，是否存在一个 Int 与 Void 构成的序对？

要创建序对，需要两个值。Int 值很容易获得，但是 Void 却没有值。因此，对于任意类型 a 而言，(a, Void) 是不存在的——它没有值——因此它等价于 Void。换句话说，a * 0 = 0。

另外一件事，加法与乘法在一起的时候，存在着分配律：

a * (b + c) = a * b + a * c

那么对于积类型与和类型而言，是否也存在分配律？是的，不过一般是在同构意义下存在。上式的左半部分相当于：

(a, Either b c)

右半部分相当于：

Either (a, b) (a, c)

下面给出一个方向的转换函数：

prodToSum :: (a, Either b c) -> Either (a, b) (a, c)
prodToSum (x, e) = 
    case e of
      Left  y -> Left  (x, y)
      Right z -> Right (x, z)

另一个方向的转换函数为：

sumToProd :: Either (a, b) (a, c) -> (a, Either b c)
sumToProd e = 
    case e of
      Left  (x, y) -> (x, Left  y)
      Right (x, z) -> (x, Right z)

case of 语句用于函数内部的模式匹配。每个模式后面是箭头所指向的可求值的表达式。例如，如果将下面的值作为 proToSum 的参数：

prod1 :: (Int, Either String Float)
prod1 = (2, Left "Hi!")

case e of 中的 e 就等于 Left "Hi!"，它会匹配到模式 Left y，所以 y 就会被绑定到 "Hi!"。因为 x 已经匹配到 2 了，因此 case of 从句的结果，也就是整个函数的结果将会是 Left (2, "Hi!")。

我不打算证明上面的这两个函数互逆，不过如果你对此有所疑虑，可以肯定的说，它们肯定互逆！因为它们只不过是将相同的数据用了不同的形式进行了封装。

数学家们为这种相互纠缠的幺半群取了个名字：半环（Semiring）。之所以不叫它们全环，是因为我们无法定义类型的减法。这就是为何半环有时也被称为 rig 的原因，因为『Ring without an n（negative，负数）』。不过，在此不关心这些问题，我们关心的是怎么描述自然数运算与类型运算之间的对应关系。这里有一个表，给出了一些有趣的对应关系：

列表类型相当有趣，因为它被定义为一个方程的解，因为我们要定义的类型出现在方程两侧：

List a = Nil | Cons a (List a)

如果将 List a 换成 x，就可以得到这样的方程：

x = 1 + a * x

不过，我们不能使用传统的代数方法去求解这个方程，因为对于类型，我们没有相应的减法与除法运算。不过，可以用一系列的替换，即不断的用 (1 + a*x) 来替换方程右侧的 x，并使用分配律，这样就有了下面的结果：

x = 1 + a*x
x = 1 + a*(1 + a*x) = 1 + a + a*a*x
x = 1 + a + a*a*(1 + a*x) = 1 + a + a*a + a*a*a*x
...
x = 1 + a + a*a + a*a*a + a*a*a*a...

最终会是一个积（元组）的无限和，这个结果可被解释为：一个列表，要么是空的，即 1；要么是一个单例 a；要么是一个序对 a*a；要么是一个三元组 a*a*a；……以此类推，结果就是一个由 a 构成的字符串。

对于列表而言，还有更有趣的东西，等我们了解函子与不动点之后，再来观察它们以及其他的递归数据结构。

用符号变量来解方程，这就是代数！因此上面出现的这些数据类型被称为：代数数据类型。

最后，我应该谈一下类型代数的一个非常重要的解释。注意，类型 a 与类型 b 的积必须包含类型 a 的值与类型 b 的值，这意味着这两种类型都是有值的；两种类型的和则要么包含类型 a 的值，要么包含类型 b 的值，因此只要二者有一个有值即可。逻辑运算 and 与 or 也能形成半环，它们也能映射到类型理论：

这是更深刻的类比，也是逻辑与类型理论之间的 Curry-Howard 同构的基础。以后在讨论函数类型时，对此再作探讨。

挑战

1. 证明 Maybe a 与 Either () a 同构。

2. 用 Haskell 定义一个和类型：

data Shape = Circle Float
           | Rect Float Float

要为 Shape 定义一个 area 函数，可以用 Shape 的两个构造子形成的模式匹配：

area :: Shape -> Float
area (Circle r) = pi * r * r
area (Rect d h) = d * h

请在 C++ 或 Java 中以接口的形式实现 Shape，然后创建两个类 Circle 与 Rect，并以虚函数的形式实现 area。

3. 继续上一题，在不改变 Shape 定义的条件下，很容易增加一个新函数 circ，用于计算 Shape 的周长：

circ :: Shape -> Float
circ (Circle r) = 2.0 * pi * r
circ (Rect d h) = 2.0 * (d + h)

请为你的 C++ 或 Java 实现也增加 circ 函数。原来的代码有哪部分不得不作修改？

4. 继续上一题，在 Shape 中增加一个新的形状 Square，并对代码作相应的更新。在 Haskell vs C++ 或 Java 的实现中，有哪些代码需要变动？（即使你并非 Haskell 程序猿，代码的变动应该也是相当明显的。）

5. 证明 a + a = 2 * a 在类型系统中（在同构意义下）也成立。记住，在上面给出的表中，2 相当于 Bool。

致谢

感谢 Gershom Bazerman 审阅此文并提出了宝贵意见。

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