堆和堆排序

在讨论「堆排序」之前，先复习一下「选择排序」。

void SelectionSort(int a[], size_t n) {
  for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
    // 在剩余元素中找出最小的一个，然后与 a[i] 交换。
    size_t k = i;
    for (size_t j = i+1; j < n; ++j) {
      if (a[j] < a[k]) {
        k = j;
      }
    }

    if (k != i) {
      std::swap(a[i], a[k]);
    }
  }
}

选择排序的空间效率很高（O(1)），但是时间效率很低（O(N^2)），主要花在了「从剩余元素中找出最小元素」，每次都要遍历剩余的全部元素。

有没有一种数据结构，能够方便的拿到 最小 元素？

如果重写 SelectionSort，改为反向遍历，每次「从剩余元素中找出最大元素」：

void SelectionSort(int a[], size_t n) {
  for (size_t i = n-1; i > 0; --i) {
    // 在剩余元素中找出最大的一个，然后与 a[i] 交换。
    size_t k = i;
    for (size_t j = 0; j < i; ++j) {
      if (a[j] > a[k]) {
        k = j;
      }
    }

    if (k != i) {
      std::swap(a[i], a[k]);
    }
  }
}

那么问题就可以改成：有没有一种数据结构，能够方便的拿到 最大 元素？

堆，就是这样一种数据结构。

其实堆有「最大堆」和「最小堆」之分，但是差别不大，这里以最大堆为例，是为了便于实现堆排序，这也是改写 SelectionSort 的原因。

堆是一种在数组上实现的几乎完全的二叉树，子节点小于父节点，所以根节点总是最大。

记 H[1..n] 为堆，以 H[i] 表示数组中第 i 个元素，它的父节点位于 i/2，子节点分别位于 i*2 和 i*2+1。

这种通过数组下标的关系来连接父子节点的方式，比一般的树型节点省了两个指针的空间。

给定一个堆 [ 30, 26, 13, 17, 11, 7, 8, 10, 4, 3 ]，那么对应的树型结构为：

                30
            /      \
         26          13
      /     \      /   \
     17      11   7     8
   /   \    /
 10     4  3

假如有一个数组 [ 4, 3, 7, 10, 11, 13, 8, 26, 17, 30 ]，怎么把它转换成堆呢？

              4
           /      \
         3          7
      /     \    /    \
    10      11  13     8
  /   \    /
 26   17  30

从最小最靠近叶节点的子树开始，如果根节点比子节点小，就与之交换，依次按如下步骤进行调整。

第一步：

   11*             30
  /       -->     /
 30             11*

第二步：

    10*            26
  /   \   -->    /   \
 26   17        10*   17

第三步：

    7*             13
  /   \   -->    /   \
 13    8        7*    8

第四步：

         3*
      /     \
     26      30
   /   \    /
  10   17  11

-->
         30
      /     \
     26      3*
   /   \    /
 10    17  11

-->
         30
      /     \
     26      11
   /   \    /
 10    17  3*

第五步：

              4*
           /      \
         30        13
      /     \     /  \
     26      11  7    8
   /   \    /
 10    17  3

-->
              30
           /      \
         4*        13
      /     \     /  \
     26      11  7    8
   /   \    /
 10    17  3

-->
              30
           /      \
         26        13
      /     \     /  \
     4*      11  7    8
   /   \    /
 10    17  3

-->
              30
           /      \
         26        13
      /     \     /  \
     17      11  7    8
   /   \    /
 10    4*  3

经过这五步，堆就建好了。下面以 C++ 代码示范。

MakeHeap 把一个数组转换成堆：

void MakeHeap(A& a) {
  for (size_t i = a.size() / 2; i > 0; --i) {
    SiftDown(a, a.size(), i);
  }
}

类型 A 就是 std::vector。当然用 C 数组也可以，只是后续讨论插入操作时会比较麻烦。

typedef std::vector<int> A;

MakeHeap 通过 SiftDown 把每棵子树的根节点向下调整。

// SiftDown 把堆 h[1..n] 的第 i 个元素向下调整（i 从 1 打头）。
void SiftDown(A& h, size_t n, size_t i) {
  while (true) {
    i = i * 2;

    if (i > n) {
      break;
    }

    if (i < n && h[i] > h[i-1]) {
      ++i;
    }

    if (h[i-1] > h[i/2-1]) {
      std::swap(h[i-1], h[i/2-1]);
    } else {
      break;
    }
  }
}

MakeHeap 的用法：

int data[10] = { 4, 30, 8, 17, 26, 13, 7, 3, 10, 11 };
A a(data, data + 10);
MakeHeap(a);

堆排序：

void HeapSort(A& a) {
  MakeHeap(a);  // 首先把数组 a 转换成堆。

  // 反向遍历，每次把堆的根与第 i 个元素交换。
  // 每次交换后，用 SiftDown 把新的根向下调整。
  for (size_t i = a.size(); i > 1; --i) {
    std::swap(a[0], a[i-1]);
    SiftDown(a, i-1, 1);
  }
}

堆排序与选择排序极为相似，空间效率一样，时间效率更优（O(N*logN)）。

与 SiftDown 相反的操作为 SiftUp。

// SiftUp 把堆 h[1..n] 的第 i 个元素向上调整（i 从 1 打头）。
void SiftUp(A& h, size_t i) {
  while (i > 1) {
    if (h[i-1] > h[i/2-1]) {
      std::swap(h[i-1], h[i/2-1]);
    }
    i = i / 2;
  }
}

插入操作依赖于 SiftUp：先添加到数组末尾，然后通过 SiftUp 把新元素向上调整。

void Insert(A& h, int x) {
  h.push_back(x);
  SiftUp(h, h.size());
}

删除操作依赖于 SiftDown：先把要删除的第 i 个元素与最后一个元素交换，然后收缩数组，再通过 SiftDown 把交换上来的元素向下调整。

void Delete(A& h, size_t i) {
  size_t n = h.size();

  if (n == 0 || i == 0 || i > n) {
    return;
  }

  if (i == n) {
    h.resize(n - 1);
    return;
  }

  std::swap(h[i - 1], h[n - 1]);
  h.resize(n - 1);
  SiftDown(h, n - 1, i);
}