堆排序

概述

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

堆的定义如下：具有n个元素的序列(k1,k2,...,kn), 当且仅当满足:

时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）或最大项（大顶堆）。

若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点（有子女的结点）的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。

(a)大顶堆序列：(96, 83, 27, 38, 11, 09)

(b)小顶堆序列：(12, 36, 24, 85, 47, 30, 53, 91)

初始时把要排序的n 个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素。然后对剩下的n-1个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

步骤&实例

实现堆排序需解决两个问题：

1. 如何将n 个待排序的数建成堆；

2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。

建堆方法（小顶堆）：

对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。

1. n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第n/2个结点的子树。

2. 筛选从第n/2个结点为根的子树开始（n/2是最后一个有子树的结点），使该子树成为堆。

3. 之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

如图建堆初始过程

无序序列：(49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49)

(a) 无序序列，初始二叉树，97（第8/2=4个结点）为最后一个结点（49）的父结点。
(b) 97>=49,替换位置，接下来对n/2的上一个结点65进行筛选。
(c) 13<=27且65>=13,替换65和13的位置，接下来对38进行替换（都大于它，不需操作），对49进行筛选。
(d) 13<=38且49>=13,替换49和13的位置，49>=27,替换49和27的位置。
(e) 最终得到一个堆，13是我们得到的最小数。

调整堆的方法（小顶堆）：

1. 设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶，堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

2. 将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

3. 若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，则重复方法(2).

4. 若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，则重复方法(2).

5. 继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

调整堆只需考虑被破坏的结点，其他的结点不需调整。

代码实现(Java)

运行代码结合注释与上面的实例步骤进行对比思考。

package com.coder4j.main;

public class HeapSort {
    
    /** 
     * 调整为小顶堆（排序后结果为从大到小）
     * 
     * @param array是待调整的堆数组 
     * @param s是待调整的数组元素的位置
     * @param length是数组的长度
     * 
     */
    public static void heapAdjustS(int[] array, int s, int length) {
        int tmp = array[s];
        int child = 2 * s + 1;// 左孩子结点的位置
        System.out.println("待调整结点为：array[" + s + "] = " + tmp);
        while (child < length) {
            // child + 1 是当前调整结点的右孩子
            // 如果有右孩子且小于左孩子，使用右孩子与结点进行比较，否则使用左孩子
            if (child + 1 < length && array[child] > array[child + 1]) {
                child++;
            }
            System.out.println("将与子孩子 array[" + child + "] = " + array[child] + " 进行比较");
            // 如果较小的子孩子比此结点小
            if (array[s] > array[child]) {
                System.out.println("子孩子比其小，交换位置");
                array[s] = array[child];// 把较小的子孩子向上移动，替换当前待调整结点
                s = child;// 待调整结点移动到较小子孩子原来的位置
                array[child] = tmp;
                child = 2 * s + 1;// 继续判断待调整结点是否需要继续调整
                
                if (child >= length) {
                    System.out.println("没有子孩子了，调整结束");
                } else {
                    System.out.println("继续与新的子孩子进行比较");
                }
                // continue;
            } else {
                System.out.println("子孩子均比其大，调整结束");
                break;// 当前待调整结点小于它的左右孩子，不需调整，直接退出
            }
        }
    }
    
    /** 
     * 调整为大顶堆（排序后结果为从小到大）
     * 
     * @param array是待调整的堆数组 
     * @param s是待调整的数组元素的位置
     * @param length是数组的长度
     * 
     */
    public static void heapAdjustB(int[] array, int s, int length) {
        int tmp = array[s];
        int child = 2 * s + 1;// 左孩子结点的位置
        System.out.println("待调整结点为：array[" + s + "] = " + tmp);
        while (child < length) {
            // child + 1 是当前调整结点的右孩子
            // 如果有右孩子且大于左孩子，使用右孩子与结点进行比较，否则使用左孩子
            if (child + 1 < length && array[child] < array[child + 1]) {
                child++;
            }
            System.out.println("将与子孩子 array[" + child + "] = " + array[child] + " 进行比较");
            // 如果较大的子孩子比此结点大
            if (array[s] < array[child]) {
                System.out.println("子孩子比其大，交换位置");
                array[s] = array[child];// 把较大的子孩子向上移动，替换当前待调整结点
                s = child;// 待调整结点移动到较大子孩子原来的位置
                array[child] = tmp;
                child = 2 * s + 1;// 继续判断待调整结点是否需要继续调整
                
                if (child >= length) {
                    System.out.println("没有子孩子了，调整结束");
                } else {
                    System.out.println("继续与新的子孩子进行比较");
                }
                // continue;
            } else {
                System.out.println("子孩子均比其小，调整结束");
                break;// 当前待调整结点大于它的左右孩子，不需调整，直接退出
            }
        }
    }
      
    /**
     * 堆排序算法
     * 
     * @param array
     * @param inverse true 为倒序排列，false 为正序排列
     */
    public static void heapSort(int[] array, boolean inverse) {
        // 初始堆
        // 最后一个有孩子的结点位置 i = (length - 1) / 2, 以此向上调整各结点使其符合堆
        System.out.println("初始堆开始");
        for (int i = (array.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
            if (inverse) {
                heapAdjustS(array, i, array.length);
            } else {
                heapAdjustB(array, i, array.length);
            }
        }
        System.out.println("初始堆结束");
        for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) {
            // 交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素
            int tmp = array[i];
            array[i] = array[0];
            array[0] = tmp;
            // 每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后，都要对堆进行调整
            if (inverse) {
                heapAdjustS(array, 0, i);
            } else {
                heapAdjustB(array, 0, i);
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = { 49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49 };
        heapSort(array, false);
        for (int i : array) {
            System.out.print(i + " ");
        }
    }

}

运行结果：

初始堆开始
待调整结点为：array[3] = 97
将与子孩子 array[7] = 49 进行比较
子孩子比其小，交换位置
没有子孩子了，调整结束
待调整结点为：array[2] = 65
将与子孩子 array[5] = 13 进行比较
子孩子比其小，交换位置
没有子孩子了，调整结束
待调整结点为：array[1] = 38
将与子孩子 array[3] = 49 进行比较
子孩子均比其大，调整结束
待调整结点为：array[0] = 49
将与子孩子 array[2] = 13 进行比较
子孩子比其小，交换位置
继续与新的子孩子进行比较
将与子孩子 array[6] = 27 进行比较
子孩子比其小，交换位置
没有子孩子了，调整结束
初始堆结束
待调整结点为：array[0] = 97
将与子孩子 array[2] = 27 进行比较
子孩子比其小，交换位置
继续与新的子孩子进行比较
将与子孩子 array[6] = 49 进行比较
子孩子比其小，交换位置
没有子孩子了，调整结束
待调整结点为：array[0] = 97
将与子孩子 array[1] = 38 进行比较
子孩子比其小，交换位置
继续与新的子孩子进行比较
将与子孩子 array[3] = 49 进行比较
子孩子比其小，交换位置
没有子孩子了，调整结束
待调整结点为：array[0] = 65
将与子孩子 array[1] = 49 进行比较
子孩子比其小，交换位置
继续与新的子孩子进行比较
将与子孩子 array[4] = 76 进行比较
子孩子均比其大，调整结束
待调整结点为：array[0] = 76
将与子孩子 array[2] = 49 进行比较
子孩子比其小，交换位置
没有子孩子了，调整结束
待调整结点为：array[0] = 97
将与子孩子 array[1] = 65 进行比较
子孩子比其小，交换位置
没有子孩子了，调整结束
待调整结点为：array[0] = 76
将与子孩子 array[1] = 97 进行比较
子孩子均比其大，调整结束
待调整结点为：array[0] = 97
97 76 65 49 49 38 27 13