数学美 之 判断线段相交的最简方法

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解析几何的巅峰
是 向量
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引子

如何判断两条直线是否相交？

这很容易。平面直线，无非就是两种关系：相交 或 平行。因此，只需判断它们是否平行即可。而直线平行，等价于它们的斜率相等，只需分别计算出它们的斜率，即可做出判断。

但倘若我把“直线”换成“线段”呢——如何判断两条线段是否相交？

这就有些难度了。和 直线 不同，线段 是有固定长度的，即使它们所属的两条直线相交，这两条线段也不一定相交。

也许你会说：分情况讨论不就行了嘛：

• 先计算两条线段的斜率，判断是否平行。若平行，则一定不相交。

• 若不平行，求出两条线段的直线方程，联立之，解出交点坐标。

• 运用定比分点公式，判断交点是否在两条线段上。

的确，从理论上这是一个可行的办法，这也是人们手动计算时普遍采用的方法。

然而，这个方法并不怎么适用于计算机。原因如下：

• 计算中出现了除法（斜率计算、定比分点），因此每次计算前都要判断除数是否为 0（或接近 0）。这很麻烦，严重干扰逻辑的表达。

• 浮点精度丢失带来的误差。人类计算时可以采用分数，但计算机不行。计算机在储存浮点数时会有精度丢失的现象。一旦算法的计算量大起来，误差会被急剧放大，影响结果准确性。

• 效率低下。浮点乘除会十分耗时，不适用于对实时性要求较高的生产环境（如 游戏）。

那么，有更好的方法？

当然有。

类型预定义

本文的算法将用 python 描述，主要用到两个数据类型：

# 点
class Point(object):

    def __init__(self, x, y):
        self.x, self.y = x, y

# 向量
class Vector(object):

    def __init__(self, start_point, end_point):
        self.start, self.end = start_point, end_point
        self.x = end_point.x - start_point.x
        self.y = end_point.y - start_point.y

先在此处说明。

问题分析

对于“判断两条直线是否相交”这个问题，我们之所以能迅速而准确地进行判断，是因为“相交”与“不相交”这两个状态有着明显的不同点，即 斜率是否相等。

那么现在，为了判断两条线段是否相交，我们也要找出“相交”与“不相交”这两个状态的不同点。

假设现在有两条线段 AB 和 CD，我们画出它们之间的三种关系：

1. 

2. 

3. 

其中，情况 1 为不相交，情况 2、3 为相交。

作出向量 AC、AD、BC、BD。

首先介绍一个概念： 向量有序对的旋转方向。这个概念指：对于共起点有序向量二元组(a, b)，其旋转方向为 使 a 能够旋转一个小于 180 度的角并与 b 重合的方向，简记为 direct(a, b)。若 a 和 b 反向共线，则旋转方向取任意值。

举个例子：图一中，direct(AC, AD) 为顺时针方向。

接下来我们要分析四个值：direct(AC, AD)、direct(BC, BD)、direct(CA, CB)、direct(DA, DB)。

1. 对于图一，direct(AC, AD) 和 direct(BC, BD) 都为顺时针，direct(CA, CB) 为逆时针，direct(DA, DB) 为顺时针。

2. 对于图二，direct(AC, AD) 为顺时针，direct(BC, BD) 为任意方向，direct(CA, CB) 为逆时针，direct(DA, DB) 为顺时针。

3. 对于图三，direct(AC, AD)、direct(DA, DB) 为顺时针，direct(BC, BD)、direct(CA, CB) 为逆时针。

不难发现，两条线段相交的充要条件是：direct(AC, AD) != direct(BC, BD) 且 direct(CA, CB) != direct(DA, DB)。这便是“相交”与“不相交”这两个状态的不同点。

然而你可能会觉得：旋转方向这么一个虚无飘渺的东西，怎么用程序去描述啊？

再来看一幅图：

再来定义有向角：

有向角 <a, b> 为 向量a 逆时针 旋转到与 向量b 重合所经过的角度。

不难看出，对于向量a、b：

• 若 direct(a, b) 为逆时针，则 0 <= <a, b> <= 180，从而 sin<a, b> >= 0。

• 若 direct(a, b) 为顺时针，则 180 <= <a, b> <= 360，从而 sin<a, b> <= 0。

这样一来，我们可以将旋转方向的问题转化为 求有向角正弦值 的问题。而这个问题，是很容易的。

如上图，记

$$ OA = (x_1, y_1), OB = (x_2, y_2) $$
$$ |OA| = r_1, |OB| = r_2 $$

则

$$ sin(\lt OA, OB\gt) $$
$$ = sin \theta $$
$$ = sin (\alpha - \beta) $$
$$ = sin \alpha cos \beta - sin \beta cos \alpha $$
$$ = \frac{(sin \alpha cos \beta - sin \beta cos \alpha) \cdot r_1 \cdot r_2}{r_1 \cdot r_2} $$
$$ = \frac{x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1} {r_1 \cdot r_2} $$

而这里，我们要的只是 sin(<OA, OB>) 的符号，而 r1 和 r2 又都是恒正的，因此只需判断 x1 * y2 - x2 * y1 的符号即可。

这个方法的数学背景是 叉乘，可以前往 Wikipedia 了解更多。

思路小结

• 由点 A，B，C，D 计算出向量 AC，AD，BC，BD

• 计算 sin(<AC, AD>) * sin(<BC, BD>) 和 sin(<CA, CB>) * sin(<DA, DB>)，若皆为非正数，则相交；否则，不相交。

实现

终于到代码部分了，想必大家都已不耐烦了吧。

在向量的辅助下，代码显得异常简单。

ZERO = 1e-9

def negative(vector):
    """取反"""
    return Vector(vector.end_point, vector.start_point)

def vector_product(vectorA, vectorB):
    '''计算 x_1 * y_2 - x_2 * y_1'''
    return vectorA.x * vectorB.y - vectorB.x * vectorA.y

def is_intersected(A, B, C, D):
    '''A, B, C, D 为 Point 类型'''
    AC = Vector(A, C)
    AD = Vector(A, D)
    BC = Vector(B, C)
    BD = Vector(B, D)
    CA = negative(AC)
    CB = negative(BC)
    DA = negative(AD)
    DB = negative(BD)

    return (vector_product(AC, AD) * vector_product(BC, BD) <= ZERO) \
        and (vector_product(CA, CB) * vector_product(DA, DB) <= ZERO)

一气呵成，没有恼人的除法，没有情况讨论，只是纯粹的简单运算。