按大小选择第K个数的问题（top-k选择问题）

选择问题（seletion problem）概述[1]

从N个数当中选出第k个最大者。
最简单的两种算法：

• 算法A1：排序-->返回k位置的数。时间复杂度O(N^2)

• 算法A2：先读入前k个数-->排序-->逐个读入其余-->插入/丢掉。时间复杂度O(KN)
  K=N/2 (上取整) 时，两者复杂度都是O(N^2)

新解法一、用优先队列（堆）解决选择问题

优先队列基础知识

- 优先队列基本模型

- 优先队列的简单实现

方法a,链表：表头插入-->遍历链表删除最小元。时间复杂度O(1)+O(N)
方法b,二叉查找树。时间复杂度O(logN)

- 优先队列更好的实现方案：二叉堆（简称堆）

a.二叉堆的结构性质
堆：完全填满的二叉树。底层元素从左到右填入。（完全二叉树）
完全二叉树，高h与节点数N的关系

N = 2^h ~ 2^(h+1) - 1
h = O(logN)

完全二叉树非常规律-->可以用数组表示完全二叉树
位置i的元素-->左儿子[2i],右儿子（2i+1）,父亲(i/2)下取整
b.堆序性质
堆序性质（heap-order property）：让操作快速执行的性质
在一个堆中，每一个子节点X的父亲中的关键字小于等于X的关键字，根节点除外。
c.基本的堆操作（见数据结构与算法分析P153）

用优先队列解决选择问题

• 算法A3：
  将N个元素读入数组，对数组应用buildHeap算法。执行k次deleteMin操作。

buildHeap最坏情况用时O(N)
每次deleteMin用时O(logN)
k次deleteMin-->用时O(klogN + N)

• 算法A4：
  用简单方法A2，但用堆buildHeap来实现前k个数,耗时O(k)-->检测新元素是否进入O(1)-->必要时删除旧插入新O(logk)-->总时间O( k + (N - k)logk )=O( Nlogk )

新解法二、用快速排序解决选择问题（快速选择）

算法A5：
选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样
如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。
如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。
否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。
此算法的平均运行时间为O(N)。

复杂度比较

在我自己的项目中，k=1或2.所以采用算法a2或者a4比较好。a2代码量小，果断采用。

参考文献

[1]数据结构与算法分析 java语言描述
[2]寻找最小的k个数 http://taop.marchtea.com/02.01.html