本文介绍几种常见排序算法(选择排序,插入排序,希尔排序,归并排序,快速排序,堆排序),对算法的思路、性质、特点、具体步骤、java实现以及trace图解进行了全面的说明。最后对几种排序算法进行了比较和总结。

写在前面

基础介绍

java: Interface Comparable<T>

Java中很多类已经实现了Comparable<T>接口,用户也可自定义类型实现该接口

total order:

  • Antisymmetry(反对称性): if v ≤ w and w ≤ v, then v = w.

  • Transitivity(传递性): if v ≤ w and w ≤ x, then v ≤ x.

  • Totality: either v ≤ w or w ≤ v or both.

注意: The <= operator for double is not a total order,violates totality: (Double.NaN <= Double.NaN) is false

通用代码:

// Less. Is item v less than w ?
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
    return v.compareTo(w) < 0;
}

//Exchange. Swap item in array a[] at index i with the one at index j
private static void exch(Comparable[] a,, int i, int j) {
    Comparable swap = a[i];
    a[i] = a[j];
    a[j] = swap;
}

初级排序算法

selection sort(选择排序)

思路:

  • 在第i次迭代中,在剩下的(即未排序的)元素中找到最小的元素

  • 将第i个元素与最小的元素交换位置

现象:

  • 设已排序的和未排序的交界处为 ↑,则每次循环, ↑ 从左往右移动一个位置

  • ↑ 左边的元素(包括↑)固定了,且升序

  • ↑ 右边的任一元素全部比左边的所有元素都大

步骤:

  • move the pointer to the right

  • indentify index of minimun entry on right

  • exchange into positon

java实现:

public static void sort(Comparable[] a) {
    int N = a.length;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int min = i;
        for (int j = i+1; j < N; j++) {
            if (less(a[j], a[min])) min = j;
        }
        exch(a, i, min);
    }
}

特点:

  • 运行时间和输入无关,无论输入是已排序,时间复杂度都是O(n^2)

  • 数据移动最少,交换的次数和数组大小是线性关系

insertion sort(插入排序)

思路:

  • 在第i次迭代中,将第i个元素与每一个它左边且比它大的的元素交换位置

现象:

  • 设已排序的和未排序的交界处为 ↑,则每次循环, ↑ 从左往右移动一个位置

  • ↑ 左边的元素(包括↑)且升序,但位置不固定(因为后续可能会因插入而移动)

  • ↑ 右边的元素还不可见

步骤:

  • Move the pointer to the right.

  • Moving from right to left, exchange a[i] with each larger entry to its left.

java实现:

public static void sort(Comparable[] a) {
    int N = a.length;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = i; j > 0 && less(a[j], a[j-1]); j--) {
            exch(a, j, j-1);
        }
    }
}

inversion(倒置):An inversion is a pair of keys that are out of order

部分有序:An array is partially sorted if the number of inversions is ≤ c N.

特点:

  • 运行时间和输入有关,当输入已排序时,时间复杂度是O(n);

  • For partially-sorted arrays, insertion sort runs in linear time.(交换的次数等于输入中倒置(inversion)的个数)

  • 插入排序适合部分有序数组,也适合小规模数组

ShellSort(希尔排序)

希尔排序是基于插入排序的。

思路:

  • Move entries more than one position at a time by h-sorting the array

  • 按照h的步长进行插入排序

现象:

  • 数组中任意间隔为h的元素都是有序的

  • A g-sorted array remains g-sorted after h-sorting it.

性质:

  • 递增数列一般采用3x+1:1,4,13,40,121,364.....,使用这种递增数列的希尔排序所需的比较次数不会超过N的若干倍乘以递增数列的长度。

  • 最坏情况下,使用3x+1递增数列的希尔排序的比较次数是O(N^(3/2))

java实现:

public static void sort(Comparable[] a) {
    int N = a.length;

    // 3x+1 increment sequence:  1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, ... 
    int h = 1;
    while (h < N/3) h = 3*h + 1; 

    while (h >= 1) {
        // h-sort the array
        for (int i = h; i < N; i++) {
            for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j-h]); j -= h) {
                exch(a, j, j-h);
            }
        }
        h /= 3;
    }
}

shuffing(不是排序算法)

目标:Rearrange array so that result is a uniformly random permutation

shuffle sort思路

  • 为数组的每一个位置生成一个随机实数

  • 排序这个生成的数组

Knuth shuffle demo

  • In iteration i, pick integer r between 0 and i uniformly at random.

  • Swap a[i] and a[r].

correct variant: between i and N – 1


  • Mergesort--Java sort for objects.

  • Quicksort--Java sort for primitive types.

下面看看这两种排序算法

merge sort(归并排序)

思路:

  • Divide array into two halves.

  • Recursively sort each half.

  • Merge two halves.

Abstract in-place merge(原地归并的抽象方法)

Given two sorted subarrays a[lo] to a[mid] and a[mid+1] to a[hi],replace with sorted subarray a[lo] to a[hi]

步骤:

  • 先将所有元素复制到aux[]中,再归并回a[]中。

  • 归并时的四个判断:

    • 左半边用尽(取右半边元素)

    • 右半边用尽(取左半边元素)

    • 右半边的当前元素小于左半边的当前元素(取右半边的元素)

    • 右半边的当前元素大于/等于左半边的当前元素(取左半边的元素)

merging java实现:

 // stably merge a[lo .. mid] with a[mid+1 ..hi] using aux[lo .. hi]
private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {
    // precondition: a[lo .. mid] and a[mid+1 .. hi] are sorted subarrays
 
    // copy to aux[]
    for (int k = lo; k <= hi; k++) {
        aux[k] = a[k]; 
    }

    // merge back to a[]
    int i = lo, j = mid+1;
    for (int k = lo; k <= hi; k++) {
        if      (i > mid)              a[k] = aux[j++];
        else if (j > hi)               a[k] = aux[i++];
        else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j++];
        else                           a[k] = aux[i++];
    }
}

Top-down mergesort(自顶向下的归并排序)

mergesort java实现:

// mergesort a[lo..hi] using auxiliary array aux[lo..hi]
private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {
    if (hi <= lo) return;
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    sort(a, aux, lo, mid);  //将左边排序
    sort(a, aux, mid + 1, hi);  //将右边排序
    merge(a, aux, lo, mid, hi); //归并结果
}

自顶向下的归并排序的轨迹图

由图可知,原地归并排序的大致趋势是,先局部排序,再扩大规模;先左边排序,再右边排序;每次都是左边一半局部排完且merge了,右边一半才开始从最局部的地方开始排序。

改进

  • 对小规模子数组使用插入排序

  • 测试数组是否已经有序(左边最大<右边最小时,直接返回)

  • 不将元素复制到辅助数组(节省时间而非空间)

Bottom-up mergesort(自底向上的归并排序)

思路:

  • 先归并微型数组,从两两归并开始(每个元素理解为大小为1的数组)

  • 重复上述步骤,逐步扩大归并的规模,2,4,8.....

java实现:

public class MergeBU{
   private static void merge(...){ /* as before */ }
 
   public static void sort(Comparable[] a){
     int N = a.length;
     Comparable[] aux = new Comparable[N];
     for (int sz = 1; sz < N; sz = sz+sz)
     for (int lo = 0; lo < N-sz; lo += sz+sz)
     merge(a, aux, lo, lo+sz-1, Math.min(lo+sz+sz-1, N-1));
   }
}

自底向上的归并排序的轨迹图

由图可知,自底向上归并排序的大致趋势是,先局部排序,逐步扩大到全局排序;步调均匀,稳步扩大


quicksort

思路:

  • Shuffle the array.

  • Partition(切分) so that, for some j

  • entry a[j] is in place

  • no larger entry to the left of j

  • no smaller entry to the right of j

  • Sort each piece recursively.

其中很重要的一步就是Partition(切分),这个过程使得满足以下三个条件:

  • 对于某个j,a[j]已经排定;

  • a[lo]到a[j-1]中的所有元素都不大于a[j];

  • a[j+1]到a[hi]中的所有元素都不小于a[j];

partition java实现

// partition the subarray a[lo..hi] so that a[lo..j-1] <= a[j] <= a[j+1..hi]
// and return the index j.
private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
    int i = lo;
    int j = hi + 1;
    Comparable v = a[lo];
    while (true) { 

        // find item on lo to swap
        while (less(a[++i], v))
            if (i == hi) break;

        // find item on hi to swap
        while (less(v, a[--j]))
            if (j == lo) break;      // redundant since a[lo] acts as sentinel

        // check if pointers cross
        if (i >= j) break;

        exch(a, i, j);
    }

    // put partitioning item v at a[j]
    exch(a, lo, j);

    // now, a[lo .. j-1] <= a[j] <= a[j+1 .. hi]
    return j;
}

快排java实现:

public static void sort(Comparable[] a) {
    StdRandom.shuffle(a);
    sort(a, 0, a.length - 1);
}

// quicksort the subarray from a[lo] to a[hi]
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) { 
    if (hi <= lo) return;
    int j = partition(a, lo, hi);
    sort(a, lo, j-1);
    sort(a, j+1, hi);
    assert isSorted(a, lo, hi);
}

快排的轨迹图

由图可知,和归并排序不同,快排的大致趋势是,先全局大体有个走势——左边比右边小,逐步细化到局部;也是先左后右;局部完成时全部排序也就完成了。

一些实现的细节:

  • 原地切分:不使用辅助数组

  • 别越界:测试条件(j == lo)是冗余的(a[lo]不可能比自己小);

  • 保持随机性:初始时的随机打乱跟重要

  • 终止循环

  • 处理切分元素值有重复的情况:这里可能出问题

性质:

  • 快排是in-place的

  • 快排不稳定

改进

  • 对小规模子数组使用插入排序

  • 三取样切分

三向切分的快速排序

思路:

  • Let v be partitioning item a[lo].

  • Scan i from left to right.

  • (a[i] < v): exchange a[lt] with a[i]; increment both lt and i

  • (a[i] > v): exchange a[gt] with a[i]; decrement gt

  • (a[i] == v): increment i

主要是通过增加一个指针来实现的。普通的快拍只有lo和high两个指针,故只能记录大于(high右边)和小于(lo左边)两个区间,等于只能并入其中一个;这里增加了使用了lt,i,gt三个指针,从而达到记录大于(gt右边)、小于(lt左边)和等于(lt和i之间)三个区间。

三切分的示意图

三向切分的java实现:

// quicksort the subarray a[lo .. hi] using 3-way partitioning
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) { 
    if (hi <= lo) return;
    int lt = lo, gt = hi;
    Comparable v = a[lo];
    int i = lo;
    while (i <= gt) {
        int cmp = a[i].compareTo(v);
        if      (cmp < 0) exch(a, lt++, i++);
        else if (cmp > 0) exch(a, i, gt--);
        else              i++;
    }

    // a[lo..lt-1] < v = a[lt..gt] < a[gt+1..hi]. 
    sort(a, lo, lt-1);
    sort(a, gt+1, hi);
}

Heapsort(堆排序)

思路:

  • Create max-heap with all N keys.

  • Repeatedly remove the maximum key.

  • swim:由下至上的堆有序化

  • sink:由上至下的对有序化

堆排序主要分为两个阶段:

  1. 堆的构造

  2. 下沉排序

java实现如下:

public static void sort(Comparable[] pq) {
    int N = pq.length;
    //堆的构造
    for (int k = N/2; k >= 1; k--)
        sink(pq, k, N);
    
    //下沉排序
    while (N > 1) {
        exch(pq, 1, N--);
        sink(pq, 1, N);
    }
}

堆排序的轨迹图

由图看出,堆排序的趋势是,堆构造阶段,大致是降序的走势,到了下沉阶段,从右到左(或者说从后往前)逐步有序

Significance: In-place sorting algorithm with N log N worst-case.

  • Mergesort: no, linear extra space.

  • Quicksort: no, quadratic time in worst case

缺点

  • Inner loop longer than quicksort’s.

  • Makes poor use of cache memory.

  • Not stable(不稳定)

总结和比较

排序算法总结表

最好情况和最坏情况:参见上面的表格

关于稳定性:

  • 稳定性,插入排序,归并排序

  • 不稳定:选择排序,快排,希尔排序,堆排序

  • 原因: Long-distance exchange

关于额外空间:除了归并排序需要线性的额外空间,其他都是in-place的

命题

  • 对于长度为N的数组,选择排序需要N^2/2次比较和N次交换(pf见P156)

  • 对于随机排列的长度为N的且主键不重复的数组(pf见P157)

    • 平均情况下插入排序需要~N^2/4次比较和~N^2/4次交换

    • 最坏情况下需要~N^2/2次比较和~N^2/2次交换,

    • 最好情况下需要N-1次比较和0次交换。

  • Mergesort uses at most N lg N compares and 6 N lg N array accesses to sort any array of size N. (pf见P173)

  • Mergesort uses extra space proportional to N.(The array aux[] needs to be of size N for the last merge.)

  • Any compare-based sorting algorithm must use at least lg ( N ! ) ~ N lg N compares in the worst-case.(pf见P177)

  • 长度为N的无重复数组排序,快速排序平均需要~2N ln N 次比较(以及1/6即1/3 N ln N的交换)

    • 最多需要约N^2/2次比较

    • 最少需要~N lg N 次比较

  • 用下沉操作由N个元素构造堆只需少于2N次比较以及少于N次交换(pf见P206)

  • 将N个元素排序,堆排序只需少于(2NlgN+2N)次比较以及一半次数的交换(pf见P208)


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