跳表 skiplist

myshell

最初知道跳表(Skip List)是在看redis原理的时候,redis中的有序集合使用了跳表作为数据结构。接着就查了一些资料,来学习一下跳表。后面会使用java代码来实现跳表。

跳表简介

跳表由William Pugh发明。他在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中详细介绍了跳表的数据结构和插入删除等操作。论文是这么介绍跳表的:

Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees.
Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.

也就是说,跳表可以用来替代红黑树,使用概率均衡技术,插入、删除操作更简单、更快。

作者在文章中由链表的查找一步步引入到跳表的介绍。首先来看论文里的一张图:

原始论文中的图-拥有额外指针的链表

上图a,已排好序的链表,查找一个结点最多需要比较N个结点。

上图b,每隔2个结点增加一个指针,指向该结点间距为2的后续结点,那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/2)+1个结点。

上图c,每隔4个结点增加一个指针,指向该结点间距为4的后续结点,那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/4)+1个结点。

如果每第2^i个结点都有一个指向间距为2^i的后续结点的指针,这样不断增加指针,比较次数会降为log(N)。这样的话,搜索会很快,但插入和删除会很困难。

一个拥有k个指针的结点称为一个k层结点(level k node)。按照上面的逻辑,50%的结点为1层,25%的结点为2层,12.5%的结点为3层...如果每个结点的层数随机选取,但仍服从这样的分布呢(上图e,对比上图d)?

使一个k层结点的第i个指针指向第i层的下一个结点,而不是它后面的第2^(i-1)个结点,那么结点的插入和删除只需要原地修改操作;一个结点的层数,是在它被插入的时候随机选取的,并且永不改变。因为这样的数据结构是基于链表的,并且额外的指针会跳过中间结点,所以作者称之为跳表(Skip Lists)。

跳表的算法

原始论文使用伪代码的形式来描述算法。本文以java语言来描述算法。

首先定义一下需要用的数据结构。表中的元素使用结点来表示,结点的层数在它被插入时随机计算决定(与表中已有结点数目无关)。一个i层的结点有i个前向指针(java中使用结点对象数组forward来表示),索引为从1到i。用MaxLevel来记录跳表的最大层数。跳表的层数为当前所有结点中的最大层数(如果list为空,则层数为1)。列表头header拥有从1到MaxLevel的前向指针:

public class SkipList<T> {

    // 最高层数
    private final int MAX_LEVEL;
    // 当前层数
    private int listLevel;
    // 表头
    private SkipListNode<T> listHead;
    // 表尾
    private SkipListNode<T> NIL;
    // 生成randomLevel用到的概率值
    private final double P;
    // 论文里给出的最佳概率值
    private static final double OPTIMAL_P = 0.25;
    
    public SkipList() {
        // 0.25, 15
        this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);
    }

    public SkipList(double probability, int maxLevel) {
        P = probability;
        MAX_LEVEL = maxLevel;

        listLevel = 1;
        listHead = new SkipListNode<T>(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);
        NIL = new SkipListNode<T>(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);
        for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {
            listHead.forward[i] = NIL;
        }
    }

    // 内部类
    class SkipListNode<T> {
        int key;
        T value;
        SkipListNode[] forward;
        
        public SkipListNode(int key, T value, int level) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.forward = new SkipListNode[level];
        }
    }
}

搜索

按key搜索,找到返回该key对应的value,未找到则返回null。

通过遍历forward数组来需找特定的searchKey。假设skip list的key按照从小到大的顺序排列,那么从跳表的当前最高层listLevel开始寻找searchKey。在某一层找到一个非小于searchKey的结点后,跳到下一层继续找,直到最底层为止。那么根据最后搜索停止位置的下一个结点,就可以判断searchKey在不在跳表中。

下图为在跳表中找8的过程:

跳表查找

插入和删除

插入的删除的方法相似,都是通过查找与连接(search and splice),如下图:

跳表插入和删除

维护一个update数组,在搜索结束之后,update[i]保存的是待插入/删除结点在第i层的左侧结点。

1. 插入

若key不存在,则插入该key与对应的value;若key存在,则更新value。

如果待插入的结点的层数高于跳表的当前层数listLevel,则更新listLevel。

选择待插入结点的层数randomLevel:

randomLevel只依赖于跳表的最高层数和概率值p。算法在后面的代码中。

另一种实现方法为,如果生成的randomLevel大于当前跳表的层数listLevel,那么将randomLevel设置为listLevel+1,这样方便以后的查找,在工程上是可以接受的,但同时也破坏了算法的随机性。

2. 删除

删除特定的key与对应的value。

如果待删除的结点为跳表中层数最高的结点,那么删除之后,要更新listLevel。

java版代码

参考了网上的一些代码,用java写了一版,包含main函数,可运行。

public class SkipList<T> {

    // 最高层数
    private final int MAX_LEVEL;
    // 当前层数
    private int listLevel;
    // 表头
    private SkipListNode<T> listHead;
    // 表尾
    private SkipListNode<T> NIL;
    // 生成randomLevel用到的概率值
    private final double P;
    // 论文里给出的最佳概率值
    private static final double OPTIMAL_P = 0.25;

    public SkipList() {
        // 0.25, 15
        this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);
    }

    public SkipList(double probability, int maxLevel) {
        P = probability;
        MAX_LEVEL = maxLevel;

        listLevel = 1;
        listHead = new SkipListNode<T>(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);
        NIL = new SkipListNode<T>(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);
        for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {
            listHead.forward[i] = NIL;
        }
    }

    // 内部类
    class SkipListNode<T> {
        int key;
        T value;
        SkipListNode[] forward;
        
        public SkipListNode(int key, T value, int level) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.forward = new SkipListNode[level];
        }
    }

    public T search(int searchKey) {
        SkipListNode<T> curNode = listHead;

        for (int i = listLevel; i > 0; i--) {
            while (curNode.forward[i].key < searchKey) {
                curNode = curNode.forward[i];
            }
        }

        if (curNode.key == searchKey) {
            return curNode.value;
        } else {
            return null;
        }
    }

    public void insert(int searchKey, T newValue) {
        SkipListNode<T>[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];
        SkipListNode<T> curNode = listHead;

        for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {
            while (curNode.forward[i].key < searchKey) {
                curNode = curNode.forward[i];
            }
            // curNode.key < searchKey <= curNode.forward[i].key
            update[i] = curNode;
        }

        curNode = curNode.forward[0];

        if (curNode.key == searchKey) {
            curNode.value = newValue;
        } else {
            int lvl = randomLevel();

            if (listLevel < lvl) {
                for (int i = listLevel; i < lvl; i++) {
                    update[i] = listHead;
                }
                listLevel = lvl;
            }

            SkipListNode<T> newNode = new SkipListNode<T>(searchKey, newValue, lvl);

            for (int i = 0; i < lvl; i++) {
                newNode.forward[i] = update[i].forward[i];
                update[i].forward[i] = newNode;
            }
        }
    }

    public void delete(int searchKey) {
        SkipListNode<T>[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];
        SkipListNode<T> curNode = listHead;

        for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {
            while (curNode.forward[i].key < searchKey) {
                curNode = curNode.forward[i];
            }
            // curNode.key < searchKey <= curNode.forward[i].key
            update[i] = curNode;
        }

        curNode = curNode.forward[0];

        if (curNode.key == searchKey) {
            for (int i = 0; i < listLevel; i++) {
                if (update[i].forward[i] != curNode) {
                    break;
                }
                update[i].forward[i] = curNode.forward[i];
            }

            while (listLevel > 0 && listHead.forward[listLevel - 1] == NIL) {
                listLevel--;
            }
        }
    }

    private int randomLevel() {
        int lvl = 1;
        while (lvl < MAX_LEVEL && Math.random() < P) {
            lvl++;
        }
        return lvl;
    }

    public void print() {
        for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {
            SkipListNode<T> curNode = listHead.forward[i];
            while (curNode != NIL) {
                System.out.print(curNode.key + "->");
                curNode = curNode.forward[i];
            }
            System.out.println("NIL");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        SkipList<Integer> sl = new SkipList<Integer>();
        sl.insert(20, 20);
        sl.insert(5, 5);
        sl.insert(10, 10);
        sl.insert(1, 1);
        sl.insert(100, 100);
        sl.insert(80, 80);
        sl.insert(60, 60);
        sl.insert(30, 30);
        sl.print();
        System.out.println("---");
        sl.delete(20);
        sl.delete(100);
        sl.print();
    }
}

参考资料

阅读 6.2k

编程之路
记录成长
55 声望
2 粉丝
0 条评论
55 声望
2 粉丝
文章目录
宣传栏