js实现01背包问题

kjnt

01背包是动态规划中比较简单的一个问题,其中的关键在于找到状态转换方程。

假设编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,重量分别是2,2,6,5,4,价值分别是6,3,5,4,6,现在有一个承重为10的背包,如何装入物品具有最大价值?

思路分析

首先假设有一个国王且手下有大臣A和大臣B,聪明的国王将这个问题分为放入物品a不放入物品a两种情况。然后国王告诉大臣A假如已经放了物品a, 那么剩下b,c,d,e四件商品放入大小为8的背包中的最大价值(其中8来自于总重量10减去物品a的重量2),然后再告诉大臣B假如没有放入物品a, 那么在b,c,d,e四件商品中放入大小为10的背包中的最大价值。

而国王只需要比较两个大臣的答案就可以得到最终答案。大臣A采用同样方法把任务分给手下有A1和A2两个人,大臣B同理。依次下去,即可得到最终的答案。

以上可以看出,关键步骤是将问题分解为放入物品a与不放入物品a两种情况中的最大值,并推广的所有的物品。这也是01的由来。

用图形表示出来就是下面这张表。

图片描述

首先注意的是该表是从左下开始填的,左边紫色列标示物品编号,并对应的有重量与价值,第一行标示背包重量。(b, 5)表示b、c、d、e四个物品放入大小为5的背包中的最大值。(a, 10)就是abcde五种商品放入容量为10的背包中的最大价值,这正好就是题目的答案。

现在我们开始学怎么填这张表,先随便挑一个表格(a,9),此时背包容量为9,可以选abcde五种物品,我们要找出容量的最大值,根据上述思路分为放入物品a和不放入物品a两种情况。

  • 情况a: 假如放入物品a, 则背包容量变为9-2=7,还剩b,c,d,e四种物品。所以该情况下的最大值 = (b,7) + 物品a的价值6,即9+6

  • 情况b: 假如不放入物品a, 背包容量不变为9,还剩b,c,d,e四种物品。所以该情况下的最大值 = (b, 9),即10

所以现在(a, 9) = max( (b,7)+6, b(9) ) = max(9+6,10) = 15。

同样的步骤填满其他的表格即可。

代码实现

下面是方法2的js实现

function packageMaxValue(weight, value, size){
    // 省略参数合法性校验
    let bagMatrix = []
    for(let w = 0; w <= size; w++) {
        // js不能直接创建二维数组,所以在此初始化数组
        bagMatrix[w] = []
        for (let j = 0; j < 5; j++) {
            // 背包的容量为0,那么一个东西也装不下,此时的值肯定也是为0
            if(w === 0) {
                bagMatrix[w][j] = 0
                continue
            }
            // 背包的容量小于物品j的重量,那么就没有上述情况a了
            if(w < weight[j]){
                bagMatrix[w][j] = bagMatrix[w][j-1] || 0
                continue
            }
            bagMatrix[w][j] = Math.max((bagMatrix[w-weight[j]][j-1] || 0) + value[j], bagMatrix[w][j-1] || 0)
        }
    }
    return bagMatrix
}
    
let weight = [4, 5, 6, 2, 2]
let value = [6, 4, 5, 3, 6]
 
console.log(packageMaxValue(weight, value, 10))

参考:
动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)

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