Leetcode 4. Median of Two Sorted Arrays

这道题本质还是利用二分法查找。例如在第一个数组假设index1为中位数，那么在第二个数组中需要有(length1+length2)/2-index1个数比这个假设数要小。一次来判断这个数是大还是小

另外注意一点是当总长度为偶数状态下需要取两个整数的平均数，在这里需要强制转换为double才能正确的返回double值

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int length1 = nums1.length;
        int length2 = nums2.length;
        if (length1 == 0) {
            if (length2 % 2 == 1) {
                return nums2[length2 / 2];
            } else {
                return (double)(nums2[length2 / 2] + nums2[length2 / 2 - 1]) / 2;
            }
        }
        if (length2 == 0) {
            if (length1 % 2 == 1) {
                return nums1[length1 / 2];
            } else {
                return (double)(nums1[length1 / 2] + nums1[length1 / 2 - 1]) / 2;
            }
        }
        return partition(nums1, nums2, 0, length1-1, 0, length2-1);
    }
    public double partition(int[] nums1, int[] nums2, int start1, int end1, int start2, int end2) {
        int length1 = nums1.length;
        int length2 = nums2.length;
        int index1 = (start1 + end1) / 2;
        int index2 = (start2 + end2) / 2;
        int pivot1 = nums1[index1];
        int pivot2 = nums2[index2];
        boolean isOdd = true;
        if ((length1 + length2) %2 == 1) {
            isOdd = true;
        } else {
            isOdd= false;
        }
        if (((length1+length2)/2 - index1 -1) <= - 2) {
            // pivot1 is too large;
            if (start1 != end1) {
                end1 = index1 - 1;
            }
        } else if (((length1+length2)/2 - index1 -1) == -1) {
            if (pivot1 > nums2[0]) {
                // pivot1 is large
                if (start1 != end1)
                    end1 = index1 - 1;
            } else {
                // pivot1 is the target
                if (isOdd) {
                    return pivot1;
                } else {
                    return (double)(pivot1 + nums1[index1-1]) / 2;
                }
            }
        } else {
            if ((length1+length2)/2 - index1 > length2) {
                // pivot1 is too small
                if (start1 != end1)
                    start1 = index1 + 1;
            } else if ((length1+length2)/2 - index1 == length2) {
                if (nums2[length2 - 1] <= pivot1) {
                    if (isOdd) {
                        return pivot1;
                    } else {
                        if (index1-1<0) {
                            return (double)(pivot1 + nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1]) / 2;
                        }
                        if ((length1+length2)/2 - index1 -1 < 0) {
                             return (double)(pivot1 + nums1[index1-1])/2;
                        }
                        
                        if (nums1[index1-1] < nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1]) {
                            return (double)(pivot1 + nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1]) / 2;
                        } else {
                            return (double)(pivot1 + nums1[index1-1])/2;
                        }
                    }
                } else {
                    // pivot1 is small
                    if (start1 != end1)
                        start1 = index1 + 1;
                }
            } else {
                if (nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1] <= pivot1 && nums2[(length1+length2)/2 - index1] >= pivot1) {
                    if (isOdd) {
                        return pivot1;
                    } else {
                        if (index1-1<0) {
                            return (double)(pivot1 + nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1]) / 2;
                        }
                        if ((length1+length2)/2 - index1 -1 < 0) {
                             return (double)(pivot1 + nums1[index1-1])/2;
                        }
                        if (nums1[index1-1] < nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1]) {
                            return (double)(pivot1 + nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1]) / 2;
                        } else {
                            return (double)(pivot1 + nums1[index1-1])/2;
                        }
                    }
                } else {
                    if (nums2[(length1+length2)/2 - index1 -1] > pivot1) {
                        // pivot1 is small
                        if (start1 != end1)
                            start1 = index1 + 1;
                    } else {
                        // pivot1 is large
                        if (start1 != end1)
                            end1 = index1 - 1;
                    }
                }
            }
        }
        if (((length1+length2)/2 - index2 -1) <= - 2) {
            // pivot2 is too large
            if (start2 != end2)
                end2 = index2 - 1;
        } else if (((length1+length2)/2 - index2 -1) == -1) {
            if (pivot2 > nums1[0]) {
                // pivot2 is large
                if (start2 != end2)
                    end2 = index2 - 1;
            } else {
                // pivot2 is the target
                if (isOdd) {
                    return pivot2;
                } else {
                    return (double)(pivot2 + nums2[index2-1]) / 2;
                }
            }
        } else {
            if ((length1+length2)/2 - index2 > length1) {
                // pivot2 is too small
                if (start2 != end2)
                    start2 = index2 + 1;
            } else if ((length1+length2)/2 - index2 == length1) {
                if (nums1[length1 - 1] <= pivot2) {
                    if (isOdd) {
                        return pivot2;
                    } else {
                        if (index2-1<0) {
                            return (double)(pivot2 + nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1]) / 2;
                        }
                        if ((length1+length2)/2 - index2 -1 < 0) {
                             return (double)(pivot2 + nums2[index2-1])/2;
                        }
                        if (nums2[index2-1] < nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1]) {
                            return (double)(pivot2 + nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1]) / 2;
                        } else {
                            return (double)(pivot2 + nums2[index2-1])/2;
                        }
                    }
                } else {
                    // pivot2 is small
                    if (start2 != end2)
                        start2 = index2 + 1;
                }
            } else {
                if (nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1] <= pivot2 && nums1[(length1+length2)/2 - index2] >= pivot2) {
                    if (isOdd) {
                        return pivot2;
                    } else {
                        if (index2-1<0) {
                            return (double)(pivot2 + nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1]) / 2;
                        }
                        if ((length1+length2)/2 - index2 -1 < 0) {
                             return (double)(pivot2 + nums2[index2-1])/2;
                        }
                        if (nums2[index2-1] < nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1]) {
                            return (double)(pivot2 + nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1]) / 2;
                        } else {
                            return (double)(pivot2 + nums2[index2-1])/2;
                        }
                    }
                } else {
                    if (nums1[(length1+length2)/2 - index2 -1] > pivot2) {
                        // pivot2 is small 
                        if (start2 != end2)
                            start2 = index2 + 1;
                    } else {
                        // pivot2 is large
                        if (start2 != end2)
                            end2 = index2 - 1;
                    }
                }
            }
        }
        return partition(nums1, nums2, start1, end1, start2, end2);
    }
}

另外一种方法 参考文章leetcode之 median of two sorted arrays
最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。
首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。
当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)
通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；

• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；

• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

这个方法真的很好！

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)  
{  
    //always assume that m is equal or smaller than n  
    if (m > n)  
        return findKth(b, n, a, m, k);  
    if (m == 0)  
        return b[k - 1];  
    if (k == 1)  
        return min(a[0], b[0]);  
    //divide k into two parts  
    int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;  
    if (a[pa - 1] < b[pb - 1])  
        return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);  
    else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])  
        return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);  
    else  
        return a[pa - 1];  
}  
  
class Solution  
{  
public:  
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)  
    {  
        int total = m + n;  
        if (total & 0x1)  
            return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);  
        else  
            return (findKth(A, m, B, n, total / 2)  
                    + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;  
    }  
};