机械臂学习笔记（3）

Chapter 3 Manipulator Kinematics

3.1 Introduction

在动力学中，我们主要研究位置，速度，加速度以及所有位置变量的高阶导数。
因此，操作臂动力学的研究指的是所有运动的几何和时间属性。
本章只研究静止状态下操作臂连杆的位置和姿态。
为了处理操作臂复杂的几何体系，我们会在操作臂的每个连杆上分别固接一个连杆坐标系，然后再描述这些连杆坐标系之间的关系。除此之外，我们还研究坐标系之间的位置变化相互影响。
本章的重点式学会解出关节为自变量的能够计算操作臂末端相对于基座的位置和方向的方程的方法。

3.2 连杆描述

一个操作臂可以被看做是一系列刚体通过关节连接的链式结构。那些刚体称作连杆。
大多数的操作臂包含转动关节和移动关节。
连杆将看做是刚体，从操作臂基座开始标号连杆0，第一个可以移动的刚体是连杆1。
一个连杆仅仅被考虑为这样一个刚体：定义了两个相邻操作臂关节轴的关系。
关节轴i被定义为一条空间中的线或者是一个方向向量，连杆i绕着轴i相对于连杆i-1旋转。
为了运动学的目的，一个连杆可以用两个数来确定，这两个数定义了两个空间中轴的相对位置。
连杆长度（a）被定义为与两个轴相互垂直的线段长度。这样的线段总是存在且大多数时候是唯一的。
另一种更直观的思考方式是想象以关节i-1为轴扩大的圆柱体与关节轴i恰好相交的点到轴i-1的距离便是连杆长度。
连杆转角 (alpha)指的是两个关节轴在以连杆长度方向为法向量平面上的投影的夹角。

连杆连接描述

连杆链中的中间连杆

相邻两个连杆有一个公共轴。
连杆偏距(d)指的是两个相邻连杆在公共轴上的距离。移动关节的连杆偏距是变量。
关节角(theta)指的是一个连杆相对于其邻杆绕着公共轴的旋转量。旋转关节的关节角是变量。

链中的首尾连杆

通常将最初和最末的连杆长度和连杆转角视作0。
如果关节1是转动关节，那么关节角1的零点位置可以任意选取（0）；连杆偏距为0。
如果关节1是移动关节，那么连杆偏距的零点位置可以任意选取（0）；关节角为0。

连杆参数

因此，任何萝卜的动力学描述都可以通过每个连杆的四个数值给出。
两个用来描述连杆本身，两个用来描述连杆与其邻杆的连接。
通常对于一个转动关节来说，theta叫做关节变量，其他三个是固定的连杆参数。
对于一个移动关节来说，连杆偏距是关节变量，其他三个是固定的连杆参数。
这种用连杆参数描述机构运动关系的规则成为DH参数。

3.4 Convention for affixing frames to links

链中的中间连杆

用来定位连杆坐标系的法则是：Z轴是关节轴i。连杆坐标系i的原点是连杆长度ai与关节轴i的交点。X轴沿着ai从关节i指向关节i+1的方向。 Yi通过右手坐标系确定。
在连杆偏距为0的情况下，Xi垂直于Zi和Zi+1的平面。

链中的首尾连杆

我们将基座的坐标系记为0，这个坐标系不移动，在运动中可以当作参考坐标系。
Z0选为沿着轴1，当关节变量1为0时，坐标系0与坐标系1重合。
利用这个规则，我们将会一直有a0=0,alpha_0=0.另外，这样可以保证d_1 = 0当关节轴为旋转轴，theta_1=0当关节轴为移动轴。
对于转动关节n，X_N的方向会选择为：当theta_n = 0时与X_N-1同向。选择一个能使d_n等于0的坐标系N的原点。对于移动关节角n，选择一个使theta_n等于0的方向作为X_N；当d_n等于0时，坐标系N的原点选择为X_N-1和关节轴n的交点。

Summary of the link parameters in terms of the link frames

Summary of link-parameter attachment procedure

Example

RRR(3R) mechanism

RPR mechanism

坐标系0和1完全重叠。
关节2是移动关节，关节角是固定的，连杆偏距是变量。
轴1,2是相交的，所以连杆长度是0。

Another 3P mechanism

3.5 操作臂动力学

连杆变换的推导

我们希望能够推导出坐标系i相对于坐标系i-1的变换。
对于一个有n个轴的操作臂，我们将问题分成n个子问题。
每个子问题有分成4个小问题，每个小问题都只与连杆的一个参数有关，而且每个小问题都可以轻松写出变换式。
对于每个连杆都有三个中间的坐标系{P},{Q},{R}.
{P}与{i-1}只差一个alpha_i-1（连杆转角）。
{Q}与{R}只差一个平移量a_i-1连杆长度。
{P}与{Q}只差一个关节角theta_i。
{i}与{P}只差一个平移量d_i。