[Leetcode - Dynamic Programming] Partition Equal Subset Sum

Partition Equal Subset Sum

Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:
Each of the array element will not exceed 100.
The array size will not exceed 200.
Example 1:

Input: [1, 5, 11, 5]

Output: true

Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].
Example 2:

Input: [1, 2, 3, 5]

Output: false

Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

1.解题思路
此问题属于动态规划中的背包问题。
背包问题：假设有n个宝石，只有一个容量为C的背包，且第i个宝石所对应的重量和价值为w[i]和v[i],求装哪些宝石可以获得最大的价值收益？
思路：我们将n个宝石进行编号，0,1,2...n-1,寻找DP的状态和状态转移方程。我们用dpij表示将前i个宝石装到剩余容量为j的背包中，那么久很容易得到状态转移方程了。（宝石从0开始编号，所以dpij是在考虑第i-1个宝石装包的情况，当然我们要先初始化前0个宝石装包的情况，即dp0=0,因为不装任何宝石，所以无论如何价值都为0.）

dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
背包无法再装下第i-1个宝石-> dp[i-1][j];
继续将第i-1个宝石装包->  dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]。

搞清楚了背包问题，这个Partition Equal Subset Sum的题目就迎刃而解了。
1). 判断数组中所有数的和是否为偶数，因为奇数是不可能有解的；
2). 根据背包问题，取前i个数，体积为j的情况下，

dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-nums[i-1]]+nums[i-1])

3).如果最后dpnums.length=sum/2,则返回true.

2.代码

public class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        if(nums.length==0) return false;
        int sum=0;
        for(int n:nums){
            sum+=n;
        }
        if(sum%2==1) return false;
        sum=sum/2;
        int[][] dp=new int[nums.length+1][sum+1];
        for(int i=0;i<=nums.length;i++){
            for(int j=0;j<=sum;j++){
                if(i==0) //表示前0个数，所以价值均为0；
                    dp[i][j]=0;
                //在装第i-1个数时，先判断剩余容量j是否大于nums[i-1]
                else if(j<nums[i-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j]; //小于表示空间不够，所以维持不变
                else{
                //空间够，就通过比较大小来判断是否该放入第i-1个数
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-nums[i-1]]+nums[i-1]);
                }
            }
        }
        return dp[nums.length][sum]==sum;
    }
}