约瑟夫环问题

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fogsail
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    Josephus问题的定义如下：假设n个人排成环形，且有以正整数m<=n。从某个制定的人开始，沿环报数，每遇到第m个人就让其出列，且报数进行下去。这个过程一直进行到所有人都出列为止。每个人出列的次序定义了整数1，2，...，n的(n, m)-Josephus排列。例如，(7,3)-Josephus排列为<3,6,2,7,5,1,4>。

    a)假设m为整数。请描述一个O(n)时间的算法，使之对给定的整数n，输出(n, m)-Josephus排列。
    b)假设m不是个常数。请描述一个O(nlgn)时间的算法，使给定的整数n和m，输出(n, m)-Josephus排列。

    递归求解约瑟夫环

    约瑟夫序列从0,1,2.....,N-1中报数为M-1的出列，从M开始又重新从1开始报数，这可以用典型的递归来求解，递归的具体过程如下图所示：
    图片描述

    图片描述
    不妨用$f(i)$表示问题规模$size=i$的时候，数的下标的排列，值得注意的是，从$size=i$问题规模递减为$size=i-1$的时候，同一个数的下标发生变化，其实是对应函数的映射，不妨用$f(i)$表示这种映射。

    如上图所示，在Josephus排列中，满足
    $f(i)=(f(i-1)+k) mod i$

    根据这种算法，可以使用递归求解：

    #include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
  int N;
  int M;
  cin>>N;
  cin>>M;
  int result=0;
  for(int i=2; i<=N;i++)
    result=(result+M)%i;
   //值得注意的是，这里的i表示规模，递推关系
   //表示从i递推到i-1，问题规模数组大小
   //最小就为1，所以i的初值为2
  std::cout << "最后输出的元素是" <<result+1<<endl;
  return 0;
}

    递归算法的局限性：用这样的递归算法，无法获得一个Josephus的(n,m)排列，我们只知道最后一个出队的人，在初始时候的下标，并不知道所有的人，分别什么时候出队。

    使用循环链表输出

    不删除结点的时候，我们需要给每一个节点加上status属性，判断这个结点是否已经处理过？
    或者就采用最普通的删除结点的方式来处理。每当完成报数的时候，删除节点让报数的人退出Josephus环。

    以下函数给出的是两种方式实现，一种在链表中不删除节点，一种要删除节点。

    #include <iostream>
using namespace std;

#define n 30
#define m 3
#define LEN sizeof(struct circular_list)
#define LEN_status sizeof(struct circular_list_status)

struct circular_list
{
  int key;  //存储数据
  circular_list *next;
};
struct circular_list_status
{
  int key;
  bool status;  //用来存储该节点的状态，出队没有？
  circular_list_status *next;
  circular_list(int k,circular_list *init):key(k),status(TRUE),next(init){}
};

struct circular_list *tail=NULL;
struct circular_list_status *tail_status=NULL;

circular_list *insert(circular_list *head, int k)
{
  circular_list *z=new circular_list[LEN];
  z->key=k;
  if(head==NULL)
  {
    head=tail=z;
    head->next=tail;  //自循环
  }
  else
  {
    //插入表尾
    tail->next=z;
    z->next=head;
    tail=z;
  }
  return head;
}

circular_list_status *insert_stus(circular_list_status *head,int k)
{
  circular_list_status *z=new circular_list_status[LEN_status];
  z->key=k;
  z->status=TRUE;
  if(head==NULL)
  {
    head=tail=z;
    head->next=tail;  //自循环
  }
  else
  {
    //插入表尾
    tail->next=z;
    z->next=head;
    tail=z;
  }
  return head;
}

circular_list *delete(circular_list *head, circular_list *z)
{
  circular_list *p=head;
  //先是要寻找到z这个结点的位置
  while(p->next!=z)  //要删除的是p->next这个节点
    p=p->next;

  if(head==tail)
    p->next=NULL;
  else
  {
    if(p->next==head)
      head=p->next->next;
    else if(p->next==tail)
      tail=p;
    p->next=p->next->next;
  }

  return p->next;
}

circular_list_status *delete_stus(circular_list_status *head, circular_list_status *z)
{
  circular_list_status *p=head;

  while(p->next!=z)  //要删除的是p->next这个节点
    p=p->next;

  if(head==tail)
    p->next=NULL;
  else
  {
    if(p->next==head)
      head=p->next->next;
    else if(p->next==tail)
      tail=p;
    p->next=p->next->next;
  }

  return p->next;   //返回的值，是更新后的p->next
}

void Josephus_n_m(circular_list_status *head, int n,int m)
{
  struct circular_list_status *p=head;
  //p作为遍历指针
  int count=0;
  while(p && count<=n)
  {
    int i=0;
    while(i!=m-1)
    {
      if(p->status==TRUE)
      {
        p=p->next;
        i++;
      }
      else p=p->next;
    }

    //循环到最后，i报数报M-1
    p->status=false;
    count++;
    p=p->next;
  }
}

void Josephus_link_imple(circular_list *head,int m)
{
  circular_list *p=head;
  while(p)
  {
    int i=0;
    while(i!=m-1)
    {
      p=p->next;
      i++;
    }
    circular_list *z=p;
    cout<<z->key<<" ";
    p=delete(head,z);
  }
}

int main()
{
  int a[n]={0}
  for(int i=0;i<n;i++)
    a[i]=i+1;

  int j=0;
  circular_list *head=NULL;
  while(j!=n)
  {
    head=insert(head,a[j]);
    j++;
  }
  circular_list *p=head;
  do {
    cout<<p->key;
    p=p->next;
    /* code */
  } while(p!=head);
  cout<<endl;
  Josephus_link_imple(head,m);
}

    算法分析：时间复杂度是$O(mn)=O(n)$

    是两个循环的嵌套，在m值不大的情况下可以使用该算法实现。

    使用顺序统计树实现

    假设m不是一个常数，用$O(nlgn)$的算法实现

    这里采用顺序统计树来存储Josephus环中的点，通过映射关系查找每次需要删除的节点的坐标并执行删除。
    映射关系如下图所示：

    图片描述

    相关的递推表示为：
    $$t=1$$
    $$k=(t+m-1)\ mod\ i$$
    $$t=k$$

    主要的实现函数

    void Josephus_imple(os_tree *T, int m, int n)
{
  os_node *x=T->root;
  int k=0, i=n;
  int t=1;

  while(T->root!=NULL && i>0)
  {
    k=(t+m-1)%i;
    //k就是我们需要删除的点，注意到我们对一个点执行删除之后
    //这个点原来的下标是k，删除了之后k+1就自动补到k的位置上
    //这样新的k重新编号的话就是1，相当于原来的t=1
    if(k==0)
      k=i;
    os_node *del=os_select(T,k);
    //这里del表示要删除的结点
    cout<<del->key<<" ";
    //输出节点

    RB_delete(del);

    t=k;
    i--;
  }
}

    这里采用的数据结构是一种顺序统计量，能够计算出rank值。但值得注意的是，在顺序统计量中，计算一个节点的rank值的函数的写法：

    int Interative_os_rank(os_tree *T,os_node *x)
//确定x这个节点的顺序统计树的rank
{
  int r=x->left->size+1;
  os_node *y=x;     //沿左脊柱上升，r=x->left->size+1
  while(y!=T->root)   //如果是沿着右脊柱上升？y->size=y->left->size+1+sum{y->parent->size}
  {                  //沿左脊柱上升，r保持不变；一旦拐弯到了右脊柱，要关注y->parent->left->size+1
    if(y==y->parent->right)
      r=r+y->parent->left->size+1;

    y=y->parent;
    //不管是左脊柱还是右脊柱，都要沿树上升
  }

  return r;

}

    特别说明，当函数沿左脊柱上升的时候，r的值是r=x->left->size+1,但是，沿右脊柱，情形就变成了r=r+y->parent->left->size+1，具体的说明请看下图：

    图片描述

    **

    $O(lgn)$算法的实现

    os_tree.h

    #define RED 0
#define BLACK 1
#define NIL -1
#define LEN sizeof(struct os_node)
#define LENTREE sizeof(struct os_tree)

struct os_node
{
  os_node *left;
  os_node *right;
  os_node *parent;
  int key;
  int color;
  int size;  //用于顺序统计量

  os_node(os_node *init,int num)
  :left(init),right(init),parent(init),key(num),color(RED),size(0){}

};

struct os_tree
{
  os_node *root;
  os_node *nil;
  os_tree()
  {
    nil=new os_node(NULL,NIL);
    root=nil;
  }
};

    rotate.h

    #include "os_tree.h"

void left_rotate(os_tree *T,os_node *x)
{
  os_node *y=x->right;  //左孩子结点
  x->right=y->left;
  //这一部处理的是加在x，y之间的“内结点”，y->left原先
  //夹在x->left和y->right之间，旋转之后子树的相对顺序不变，最外边的结点是
  //x->left和y->right，注意是围绕x和y进行的旋转，所以子树的相对位置保持不变

  if(y!=T->nil && y->left!=T->nil)
    y->left->parent=x;
  //旋转之后需要重新更新parent结点信息

  y->parent=x->parent;  //这个时候y作为子树的根了，y要连到祖先中！
  if(x->parent==T->nil)
    T->root=y;
  else if(x->parent->left==x)
     x->parent->left=y;
  else
      x->parent->right=y;

   //保证x与祖先结点相连接

   //最后处理x和y的关系
   y->left=x;
   x->parent=y;

   //顺序统计树新增部分
   y->size=x->size;
   //旋转之后，y代替原来x的位置，而x的位置在树的高处
   //直接将原来x的size值赋值给y就可以了
   x->size=x->left->size+x->right->size+1;
}

//右旋，对称的代码
void right_rotate(os_tree *T,os_node *x)
{

  //只需要把上述代码的相对位置，right和left互换就可以了
   os_node *y=x->left;
   x->left=y->right;

   if(y!=T->nil && y->right!=T->nil)
     y->right->parent=x;
   //旋转之后需要重新更新parent结点信息

   y->parent=x->parent;
   if(x->parent==T->nil)
     T->root=y;
   else if(x->parent->left==x)
      x->parent->left=y;
   else
       x->parent->right=y;

    //保证x与祖先结点相连接

    //最后处理x和y的关系
    y->right=x;
    x->parent=y;

    y->size=x->size;
    x->size=x>left->size+x->right->size;
}

    delete.h

    #include "os_tree.h"
#include "rotate.h"
#include "succ_and_other.h"

//删除调整，这个时候x有两重黑色
void RB_delete_fixup(os_tree *T, os_node *x)
{
  os_node *w=T->nil;
  while (x!=T->root && x->color==BLACK)
  {
    if(x==x->parent->left)
    {
      w=x->parent->right;   //w为x的兄弟结点
      if(w->color==RED)
      {
        w->color=BLACK;    //将这种情况划归为下面一种情况
        w->parent->color=RED;
        left_rotate(T,x->parent);
        w=x->parent->right;
      }
      if(w->left->color==BLACK && w->right->color==BLACK)
      {
        w->color=RED;
        x=x->parent;      //x和w的黑色沿树上升，注意到x有双重黑色，所以x的颜色不变
      }                  //变得是w，x->parent的颜色
      else
      {
        if(w->right->color==BLACK)
        {
          w->left->color=BLACK;
          w->color=RED;         //同样，内节点变为外节点
          right_rotate(T,w);
          w=x->parent->right;
        }
        w->color=x->parent->color;   //这里x->parent的颜色不确定，但是w的颜色是黑色
        //x有双重黑色，通过改变颜色加上旋转，可以将双重黑色表现在图中，这样完成了红黑树的局部平衡
        x->parent->color=BLACK;
        w->right->color=BLACK;
        left_rotate(T,x->parent);
        //红黑树局部平衡了
        x=T->root;
      }
    }

    else
    {
      w=x->parent->left;
      if(w->color==RED)
      {
        w->color=BLACK;
        x->parent->color=RED;
        right_rotate(T,x->parent);
        w=x->parent->left;
      }
    }
    if(w->left->color==BLACK && w->right->color==BLACK)
    {
      w->color=RED;
      x=x->parent;
    }
    else
    {
      if(w->left->color==BLACK)
      {
        w->right->color=BLACK;
        w->color=RED;
        left_rotate(T,w);
        w=x->parent->left;
      }
      w->color=x->parent->color;
      x->parent->color=BLACK;
      w->left->color=BLACK;
      right_rotate(T,x->parent);

      x=T->root;
    }
  }

  x->color=BLACK;
}

void transplant(os_tree *T, os_node *u, os_node *v)
{
  if(u->parent==T->nil)
    T->root=v;
  else if(u==u->parent->left)
    u->parent->left=v;
  else u->parent->right=v;

  if(v!=T->nil)
    v->parent=u->parent;
}

void RB_delete(os_tree *T, os_node *z)
{
  os_node *y=z, *x;
  int y_original_color=y->color;
  os_node *par=z->parent;  //par作为被删除节点的双亲

  if(z->left==T->nil)
  {
    //删除一个节点的时候，size会发生变化
    while(par!=T->nil)
    {
      //删除节点后，z的双亲的size值会减小
      par->size--;
      par=par->parent;  //自底向上遍历，所有的节点的size都减小
    }
    x=z->right;
    transplant(T,z,z->right);
  }
  else if(z->right==T->nil)
  {
    while(par!=T->nil)
    {
      //删除节点后，z的双亲的size值会减小
      par->size--;
      par=par->parent;  //自底向上遍历，所有的节点的size都减小
    }
    x=z->left;
    transplant(T,z,z->left);
  }
  else
  {
    y=tree_minimum(T,z->right);   //这里是查找z的后继，为y，用y来代替z的位置
    y_original_color=y->color;
    os_node *par=y->parent;
    //这里用y嫁接到z处，原先y位置往上所有的节点相当于
    //少了一个y结点，所以par往上遍历的过程中所有的size都为size--

    //特别地，当用y来代替z的时候，并不是y->size=z->size
    //因为子树中少了一个y，所以size-1

    //特别注意，实际上，从y结点到z节点之间的节点，少了一个y
    //从z节点往上，少了一个z，由于size结点是不包括当前节点的
    //所以y->size=z->size-1

    /*y->size=z->size-1;
    while(par!=T->nil)
    {
      //删除节点后，z的双亲的size值会减小
      par->size--;
      par=par->parent;  //自底向上遍历，所有的节点的size都减小
    }*/
    //还有一种方法：完成transplant之后自底向上调整！
    x=y->right;

    if(y->parent==z)
    {
      x->parent=y;
    }
    else
    {
      transplant(T,y,y->right);
      y->right=z->right;
      y->right->parent=y;
    }

    transplant(T,z,y);
    y->left=z->left;
    y->left->parent=y;
    y->color=z->color;

    //这里进行size属性的维护

    while(par!=T->nil)
    {
      //删除节点后，z的双亲的size值会减小
      par->size--;
      par=par->parent;  //自底向上遍历，所有的节点的size都减小
    }

  }

  if(y_original_color==BLACK)
     RB_delete_fixup(T,x);   //x为y的孩子结点，y的删除会影响x的相关性质
}

    insert.h

    #include "os_tree.h"
#include "rotate.h"

void RB_insert_fixup(os_tree *T, os_node *z);

void RB_insert(os_tree *T, os_node *z)
{
  os_node *y=T->nil;
  //y作为遍历指针的双亲
  RB_node *x=T->root;
  while(x!=T->nil)
  {
    y=x;
    if(z->key<x->key)
      x->x->left;
    else x=x->right;
  }

  z->parent=y;
  //y作为遍历指针x的母结点，x遍历寻找合适的插入位置
  if(y==T->nil)
    T->root=z;
  else if(z->key<y->key)
    y->left=z;
  else y->right=z;

  z->left=T->nil;
  z->right=T->nil;
  z->parent=RED;

  //新插入节点的信息
  z->size=1;
  z->left->size=0;
  z->right->size=0;

  RB_insert_fixup(T,z);   //最后插入的结点是红色的，与此同时进行红黑树性质的调整
}

void RB_insert_fixup(os_tree *T,os_node *z)
{
  while(z->parent->color==RED)
  {
    if(z->parent==z->parent->parent->left)
    {
      os_node *y=z->parent->parent->right;  //设置叔结点
      if(y->color==RED)
      {
        z->parent->color=BLACK;   //父节点的黑色可以下放给两个结点
        y->color=BLACK;
        z->parent->parent->color=RED;
        z=z->parent->parent;   //z沿树上升
      }
      else
      {
        if(z==z->parent->right)   //内结点先旋转成外节点
        {
          z=z->parent;
          left_rotate(T,z);
        }
        z->parent->color=BLACK;    //改变颜色之后，z的兄弟结点和z颜色相同
        z->parent->parent->color=RED;  //红黑树局部恢复平衡
        right_rotate(T,z->parent->parent);  //这个技巧是：改变颜色之后，然后旋转，这样不破坏红黑树性质
      }                                     //与此同时，结点沿树上升

    }
    else
    {
      os_node *y=z->parent->parent->left;
      if(y->color==RED)
      {
        z->parent->color=BLACK;
        y->color=BLACK;
        z->parent->parent->color=RED;
        z=z->parent->parent;
      }
      else
      {
        if(z==z->parent->left)
        {
          z=z->parent;
          right_rotate(T,z);
        }
        z->parent->color=BLACK;
        z->parent->parent->color=RED;
        left_rotate(T,z->parent->parent);
      }
    }
  }

  T->root->color=BLACK;
}

    succ_and_other.h

    #include "os_tree.h"

os_node *tree_maxinum(os_tree *T, os_node *x)
{
  while(x!=T->nil && x->right!=T->nil)
    x=x->right;
  return x;
}


os_node *tree_minimum(os_tree *T,os_node *x)
{
  while (x->left!=T->nil) {
    x=x->left;
  }

  return x;
}


os_node *tree_successor(os_tree *T, os_node *x)
{
  if(x->right!=T->nil)
  {
    return tree_minimum(x->right);
  }
  os_node *y=x->parent;  //后继在根节点处
  while(y!=T->nil && x==y->right)
  {
    x=y;
    y=y->parent;
  }
  return y;
}

os_node *tree_predecessor(os_tree *T, os_node *x)
{
  if(x->left!=T->nil)
  {
    return tree_maxinum(x->left);
  }
  os_node *y=x->parent;
  while(y!=T->nil && x==y->left)
  {
    x=y;
    y=y->parent;
  }
  return y;
}

os_node *Iterative_tree_search(os_tree *T,os_node *x, int k)
{
  while(x!=T->nil && k!=x->key)
  {
    if(k<x->key)
      x=x->left;
    else x=x->right;
  }
  return x;
}

void in_order_traverse(os_tree *T, os_node *p)
{
  if(p!=T->nil)
  {
    in_order_traverse(p->left);
    cout<<p->key<<" "<<p->color<<" "<<p->size<<endl;
    in_order_traverse(p->right);
  }
}
os_node *os_select_rank(os_tree *T, os_node *x, int i)
{
  int r=x->left->size+1;
  if(i==r)
    return x;
  else if(i<r)
     return os_select_rank(T,x->left,i);
  else return os_select_rank(T,x->right,i-r);
}

int Interative_os_rank(os_tree *T,os_node *x)
//确定x这个节点的顺序统计树的rank
{
  int r=x->left->size+1;
  os_node *y=x;     //沿左脊柱上升，r=x->left->size+1
  while(y!=T->root)   //如果是沿着右脊柱上升？y->size=y->left->size+1+sum{y->parent->size}
  {                  //沿左脊柱上升，r保持不变；一旦拐弯到了右脊柱，要关注y->parent->left->size+1
    if(y==y->parent->right)
      r=r+y->parent->left->size+1;

    y=y->parent;
    //不管是左脊柱还是右脊柱，都要沿树上升
  }

  return r;

}

    Josephus_circle.h

    #include "delete.h"
#include "succ_and_other.h"

void Josephus_imple(os_tree *T, int m, int n)
{
  os_node *x=T->root;
  int k=0, i=n;
  int t=1;

  while(T->root!=NULL && i>0)
  {
    k=(t+m-1)%i;
    //k就是我们需要删除的点，注意到我们对一个点执行删除之后
    //这个点原来的下标是k，删除了之后k+1就自动补到k的位置上
    //这样新的k重新编号的话就是1，相当于原来的t=1
    if(k==0)
      k=i;
    os_node *del=os_select(T,k);
    //这里del表示要删除的结点
    cout<<del->key<<" ";
    //输出节点

    RB_delete(del);

    t=k;
    i--;
  }
}

    主函数

    #include "Josephus_circle.h"
#include <iostream>
#include "time.h"
#include "os_tree.h"
#include "delete.h"
#include "insert.h"
using namespace std;

int main()
{
  srand((unsigned)time(NULL));
  int m=0,n=0;
  cout<<"输入Josephus排列的m和n值"<<endl;
  cout<<"m=";
  cin>>m;
  cout<<"n=";
  cin>>n;

  int *array_jose=new int [n];
  //对数组进行赋值和初始化
  for(int j=0;j<n;j++)
  {
    array_jose[j]=j+1;
    cout<<array_jose[j]<<" ";
  }
  cout<<endl;

  os_node *nilnode=new os_node [LEN];
  os_tree *T=new os_tree [LENTREE];
  os_node *newroot=new os_node [LEN];


  nilnode->key=-1;
  nilnode->color=BLACK;
  T->nil=nilnode;

  int i=0;
  newroot->key=array_jose[i++];
  RB_insert(T,newroot);
  T->root=newroot;
  while(i!=n)
  {
    os_node *z=new os_node[LEN];
    z->key=array_jose[i];
    RB_insert(T,z);
    i++;
  }

  in_order_traverse(T,T->root);
  cout<<"Josephus排列"<<" ";
  Josephus_imple(T,m,n);
}
    算法导论数据结构
    fogsail
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    一直认为数学、音乐、诗歌都是世间最美好的语言，程序是用数学这种语言写成的逻辑。于2014年12月被人拉到兰州大学开源社区中去（mirror.lzu.edu.cn），从此与自由软件和编程解下不解之缘，毅然抛弃生物专业从事编...

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