Dijkstra最短路径算法的理解与实现

Dijkstra大学的时候就学过，但最近在《Algorithms》这本书里，看到了个很有趣的讲解，对这个算法有了新的理解，以下便是对这个算法的整理和实现。

广度搜索与最短距离

我们知道，如果把所有的边的距离当做1，广度遍历得到的就是最短路径。

更直观的，我们可以这样想，把节点都想成有质量的小球，节点间边想成细线。我们把S球拎起来，让所有的球都自然下垂，这样小球所在的层数，就是S球到其他小球的最短距离了。如下图：

我们可以简单证明下。

首先，广度搜索，又被称为层次遍历，就是一层一层进行搜索。当搜索到d层，所有小于d层的节点一定已经搜索完了。

假设在某一个时刻，所有d层的节点都已经计算正确了。那么他们相邻的节点的距离只有两种情况，一种是未知的，那么他们同S的最短距离应为d + 1。

一种是已知的，距离小于等于d，根据假设，他的距离也已经计算正确了。

然后，我们再考虑初始情况。S节点的距离为0，相邻的节点距离都为1，符合我们的假设。所以通过广度搜索得到的距离是最短距离。

这个"证明"只是用来理解这个算法的，并不去严谨，《算法导论》有严谨的证明，大家感兴趣的话可以去看看。

广度搜索到Dijkstra

既然我们知道广度搜索能得到所有边的距离为1的节点的最短距离了。那么广度搜索和Dijkstra有没有什么关系呢？换句话说，最短路径能不能变成广度搜索呢？

最短路径和广度搜索的区别就在于，广度遍历之间的节点距离只能为1，而最短路径计算的节点距离可以为任意正数。

如果我们把所有距离都变成1会怎样？

为了达到这个目的，我们把两个几点之间加上如果哑节点（dummy node），让所有节点（节点+哑几点）间的距离为1，这样我们就可以用广度遍历来算最短距离了！

比如s同u的距离为3，那么我们可以在S和U之间加上两个节点u1 ,u2。这样就变成了S -> U1 -> U2 -> U，相邻的节点间的距离为1。如下图：

目前的算法看起来有点蠢，不过已经很接近Dijkstra了。我们看下如何来优化它！

如何优化当前的算法吗？

算法好玩的地方就在于，我们可以优化它。

首先，我们要分析这个算法的问题。

假设从S到U的距离是10，那么计算前99个哑节点的距离，都是没有意义的。

如果我们在90分钟里，睡一下，在第一百分钟的时候，有一个闹铃把我们叫醒，就好了！让我们来做这样的一个闹铃！

假设我们要求下图的的最短距离，我们可以这么做。我们从0出发，从图中可以看出来，直到100或者200分钟后，不会有任何有趣的事情发生。那我们就设两个闹铃，分别为100分钟、200分钟之后响。

等到100这个闹铃响的时候，我们到了1号节点，这个时候，我们检查1号节点的相邻节点，发现50分钟后，可能会到2号节点。所以我们加入150这个闹铃。

150分钟到的时候，我们到了2号节点，所以2号的最短距离是150。这样就得到了所有节点的最短距离。

我们的闹钟算法如下：

• 讲S的闹钟设为0

• 循环，直到没有任何一个闹钟
  假设，下一个闹钟(距离最近的节点)响起响起的时间是T，到达的节点是U，那么

  • 从S到U的距离就是T

  • 对于U的每一个相邻节点V

    • 如果v还没有闹钟，则将它的闹钟设置为 T + l(u, v)

    • 如果v的闹钟，比 T + l(u,v)晚，则更新v的闹钟

Dijkstra实现

我们来看下具体实现，实现算法可以帮助我们进一步理解算法。

class Dijkstra
  INFINITY = 1 << 32
  def initialize(weighted_graph)
    @weighted_graph = weighted_graph
  end

  def shortest_distances
    make_alarms
    decrease_alarm(0, 0)

    while v = alarm!
      @weighted_graph[v].each do |w, weight|
        if alarm(w) > alarm(v) + weight
          decrease_alarm(w, alarm(v) + weight)
        end
      end
    end

    @alarms
  end

  def make_alarms
    @vertexes_alarms = (0...vertexes_count).to_a

    @alarms = Array.new(vertexes_count, INFINITY)
  end

  def alarm(vertex)
    @alarms[vertex]
  end

  def decrease_alarm(vertex, time)
    @alarms[vertex] = time

    @vertexes_alarms.sort_by! do |vertex|
      @alarms[vertex]
    end
  end

  def alarm!
    @vertexes_alarms.delete_at(0)
  end

  def vertexes_count
    @vertexes_count ||= @weighted_graph.length
  end
end

优化

自己观察这个算法，会发现decrease_alarm这个方法，每次都调用了sort!方法。但其实我们每次拿出来的闹铃都是数值最小的那一个，用优先队列(Priority queue)更合适。这样可以降低算法的复杂度，让我们的算法更快。

总结

算法的书有很多，但讲清楚算法是怎么来的，却很少。《Algorithms》这本书采用的方式，很像《怎样解题》所采用方式，很有趣，也很有启发性。

同时算法最有趣的地方在于可以一点一点改进和优化！

参考

1. Algorithms

2. 算法导论

3. 怎样解题

4. 画图