IEEE754 浮点数格式 与 Javascript number 的特性

Javascript 作为一门动态语言,其数字类型只有 number 一种。 nubmer 类型使用的就是 IEEE754 标准中的 双精度浮点数。Javascript 数字的许多特性都依赖于此标准,例如令人费解的 0.1+0.2不等于0.3

这篇文章介绍 IEEE754 标准中双精度浮点数二进制储存格式,并由此推出 js 中数字的一些特性。

一、IEEE754 中浮点数的储存格式

在 IEEE754 中,双精度浮点数储存为64位:

双精度浮点数储存格式

指数位可以通过下面的方法转换为使用的指数值:
指数位代表的值

浮点数表示的值的形式由 $e$ 和 $f$ 确定:
浮点数表示的值的形式

二、根据 IEEE754 计算 0.1+0.2

1. 将 0.1 使用转换为二进制

将 0.1 使用转换为二进制

$0.1 = (0.0\dot0\dot0\dot1\dot1)_2=(-1)^0\times2^{-4}\times(1.\dot1\dot0\dot0\dot1)_2$

$0.2 = 0.1\times2^1=(-1)^0\times2^{-3}\times(1.\dot1\dot0\dot0\dot1)_2$

由于小数位 $f$ 仅储存 52bit, 储存时会将超出精度部分进行"零舍一入"

值类型 小数位(储存范围内) 小数位(储存范围外)
无限精确值 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001...
实际储存值 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 -

由于计算加减时不会对指数位进行位运算,这里不计算指数位的表示,直接使用数字表示最终的指数值

0.1、0.2 的表示如下:

浮点数数值 符号位 $s$ 指数值 $E$ 小数位 $f$
0.1 0 -4 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010
0.2 0 -3 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010

2. 将 0.1 与 0.2 相加

在计算浮点数相加时需要先进行“对位”,将较小的指数化为较大的指数,并将小数部分相应右移

$0.1 \rightarrow (-1)^0\times2^{-3}\times(0.1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1101 0)_2$
$0.2 \rightarrow (-1)^0\times2^{-3}\times(1.1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010)_2$

计算0.1与0.2相加

$0.1 + 0.2 = (-1)^0\times2^{-2}\times(1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)_2$

可以通过下面的方法检验计算结果是否于 js 中一致:

0.1 + 0.2 === (-1)**0 * 2**-2 * (0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2**-52)
//> true
//计算正确

三、计算 javascript Number 的特性

在js中 Number对象上附带了许多属性,表示可数的范围等信息,例如 Number.MAX_SAFE_INTEGER 是一个16位的数字,这一部分将解释如何计算出这些有特殊意义的数字。

1.计算 Number.MAX_VALUENumber.MIN_VALUE

当符号位为0、指数取到1023、小数位全为1时,为可表示的最大值
当符号位为0、指数位全为0(表示非规格浮点数)、小数位仅最后一位为1时,为可表示的最小正值

var max = (-1)**0 * 2**1023 * (Number.parseInt( "1".repeat(53) ,2) * 2**-52);
max === Number.MAX_VALUE;
//> true

var min = (-1)**0 * 2**-1022 * (Number.parseInt( "0".repeat(52)+"1" ,2) * 2**-52);
min === Number.MIN_VALUE;
//> true

2.计算 Number.MAX_SAFE_INTEGERNumber.MIN_SAFE_INTEGER

Number.MAX_SAFE_INTEGER 表示最大安全整数,它是9开头的16位数字,也表明js number最大精度不超过16位。

ECMASCRIPT-262 定义:

The value of Number.MAX_SAFE_INTEGER is the largest integer n such that n and n + 1 are both exactly representable as a Number value.
http://www.ecma-international...

改变指数位为53,这让每个小数位都表示浮点数的整数部分,小数位最低位对应 $2^0$,然后将每个小数位都置1,可得最大准确整数:

var max_safe_int = (-1)**0 * 2**52 * (Number.parseInt("1".repeat(53),2) * 2**-52);
max_safe_int === Number.MAX_SAFE_INTEGER;
//> true
//当它 +1 时,可由 (-1)**0 * 2**53 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(52),2) * 2**-52) 正确表示,而再 +1 时则无法准确表示

//符号位取反可得最小安全整数
-1 * max_safe_int === Number.MIN_SAFE_INTEGER;

3.计算 Number.EPSILON

Number.EPSILON 是一个极小值,用于检测计算结果是否在误差范围内。例如:

Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON;
//> true

//2017-9-27 补充
1.1 + 1.3 - 2.4 < Number.EPSILON
//> false

根据 ECMASCRIPT-262 定义:

The value of Number.EPSILON is the difference between 1 and the smallest value greater than 1 that is representable as a Number value, which is approximately 2.2204460492503130808472633361816 x 10‍−‍16.

http://www.ecma-international...

根据定义Number.EPSILON是大于1的最小可表示数与1的差,可以据此计算出 Number.EPSILON 的值:

//将表示1的二进制小数位的最左端置1,可表示大于1的最小数
var epsilon = (-1)**0 * 2**0 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(51)+"1",2) * 2**-52) - 1;
// (-1)**0 * 2**0 * (+`0b1${"0".repeat(51)}1` * 2**-52) - 1;
epsilon === Number.EPSILON;
//> true
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