程序?的数学：几何角度理解矩阵

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本文将带领读者以几何视角来理解矩阵，本文力求简洁，基本不涉及矩阵计算，相关概念请参阅相关教材，本文所有矩阵例子均使用二阶矩阵

空间与矩阵

矩阵的几何意义

矩阵是什么？从几何角度来看，每种矩阵都对应着一种特定的空间变换方式：

上图中的三个矩阵分别对应了空间的放大，斜切与旋转

点与图形

点／图形存在于空间之中，所以矩阵也就使他们发生了改变：

上图分别展示了矩阵变换前后点／图形的变化。

如上左图所示放大矩阵与剪切矩阵分别使点(-2,2)放生了不同的变化：

实际应用

相对于作用于空间，将矩阵变换应用于点／图形上是实际工作用经常遇到的一类问题：

如上图，将正方形逆时针旋转30度后，点ABCD所对应的坐标。
通常的方法会分别求出四个点的坐标，这样四个点相互独立计算，计算量大，且容易出错；
使用矩阵后，我们只需要求出变幻的矩阵，将四个点坐标与矩阵相称即可，工作量顿时降低了不少。
那么应当如果求得这个变换矩阵？

先别急，在此之前我们先说明一下如何表示点。

点与向量

在坐标系中，每一个向量都可以表示为一组基向量（线形无关）的和的形式，在直角坐标系中我们选取单位向量(1,0)与(0,1)作为一组基向量。
所以，对于任意的向量，都可以分解为X方向与Y方向上的向量，在求得其对应的系数n与m，则该向量可表示为nX+mY，该点则为(n,m):

如图，将向量在X，Y的分量求出分别为4X与3Y，则该向量为4X+3Y，该点为(4,3)。
如此一来我们便将点与基向量关联起来了，那么这样表示意义何在？

变中不变

对于任意的向量nX+mY,矩阵变换前后其系数将保持不变，而这一过程中变换的仅是基向量：

由于点与基向量是相互关联的，即可通过求出变换后的基向量来表示变换后点的坐标：

如上所示，我们只要求出了变换后的一对基向量i',j'即可得到变换矩阵。

小试牛刀

现在，我们用几个简单的例子来小试牛刀：

求旋转矩阵

如图求出顺时针旋转90度的变换矩阵
该变换之后的基向量i'由(1,0)变为(0,-1),基向量j'由(0,-1)变为(1,0)，所以顺时针旋转90度所对应的矩阵A为：

0  1
-1 0

求剪切矩阵

如图求所对应剪切矩阵
该变换之后的基向量i'由(1,0)变为(1,1),基向量j'不变，所以顺时针旋转90度所对应的矩阵A为：

1  0
1  1    

应用

好了现在我们来求解前文那道旋转正方形的问题
对于逆时针旋转30度，我们可得旋转后的图形：

如上图可知旋转后的基向量i'为(Rcosθ,Rsinθ)，基向量j'为(-Rsinθ,Rcosθ)
其中R为1,θ=30°
带入的
i' = ((√3)/2,1/2)
j' = (-1/2,(√3)/2 )
所以该变换所对应的矩阵A为

(√3)/2     -1/2
  1/2    (√3)/2  

小结

以上就是关于几何角度理解矩阵的基本知识了。
其实求出矩阵其实很简单：只要求出变换后的基向量，将其写成矩阵的形式即可。
由于线性变化原点是不移动的，后续我们还将讨论如何使用矩阵描述原点移动的变换。