理解和计算算法复杂度

原文：https://ethsonliu.com/2018/04...

一：渐近符号

算法复杂度的表示通常用三种渐进符号：$O, Ω, Θ$。我们平时常见的都是第一个，后面两个多见于教科书。下面先介绍下这三种符号的含义和性质。

符号 $O$

$O$，读作“大 O”，非正式来说，$O(g(n))$ 是增长次数小于等于 $g(n)$ 及其常数倍（$n$ 趋向于无穷大）的函数集合。

教科书上的定义：如果函数 $f(n)$ 包含在 $O(g(n))$ 中，记作 $f(n)∈O(g(n))$（平时使用为了方便书写，我们通常使用 $f(n)=O(g(n))$ 代替）。它的成立条件是：对于所有足够大的 $n$，$f(n)$ 的上界由 $g(n)$ 的常数倍所确定，也就是说，存在大于 $0$ 的常数 $c$ 和非负整数 $n_0$，使得对于所有的 $n≥n_0$ 来说，$f(n)≤c⋅g(n)$。

下图说明了这个定义：

下面给出几个例子：

$$ \begin{align} n&=O(n^2)\\ 100n+5&=O(n^2)\\ \frac 12n(n-1)&=O(n^2)\\ n^3&≠O(n^2)\\ 0.00001n^3&≠O(n^2) \end{align} $$

符号 $Ω$

$Ω$，读作“omega”，$Ω(g(n))$ 是增长次数大于等于 $g(n)$ 及其常数倍（$n$ 趋向于无穷大）的函数集合。

教科书上的定义：如果函数 $f(n)$ 包含在 $Ω(g(n))$中，记作 $f(n)=Ω(g(n))$。它的成立条件是：对于所有足够大的 $n$，$f(n)$ 的下界由 $g(n)$ 的常数倍所确定，也就是说，存在大于 $0$ 的常数 $c$ 和非负整数 $n_0$，使得对于所有的 $n≥n_0$ 来说，$f(n)≥c⋅g(n)$。

下图说明了这个定义：

下面给出几个例子：

$$ \begin{align} n^3&=Ω(n^2)\\ \frac 12n(n-1)&=Ω(n^2)\\ 100n+5&≠Ω(n^2) \end{align} $$

符号 $Θ$

读作“theta”。

教科书上的定义：如果函数 $f(n)$ 包含在 $Θ(g(n))$ 中，记作 $f(n)=Θ(g(n))$。它的成立条件是：对于所有足够大的 $n$，$f(n)$ 的上界和下界由 $g(n)$ 的常数倍所确定，也就是说，存在大于 $0$ 的常数 $c_1, c_2$ 和非负整数 $n_0$，使得对于所有的 $n≥n_0$ 来说，$c_1⋅g(n)≤f(n)≤c_2⋅g(n)$。

下图说明了这个定义：

下面给出几个例子：

$$ \begin{align} \frac 12n(n-1)&=Θ(n^2)\tag{$c_1=\frac 14,c_2=\frac 12,n_0=2$}\\ 6n^3&≠Θ(n^2) \end{align} $$

三种符号的性质

性质 如果 $t_1(n)=O(g_1(n))$ 并且 $t_2(n)=O(g_2(n))$，则

$$ t_1(n)+t_2(n)=O(\max\{g_1(n),g_2(n)\}) $$

上面的公式对于 $Ω$ 和 $Θ$ 符号，同样成立。

证明 增长次数的证明是基于以下简单事实：对于 $4$ 个任意实数 $a_1,b_1,a_2,b_2$，如果 $a_1≤b_1$ 并且 $a_2≤b_2$，则 $a_1+a_2≤2\max\{b_1,b_2\}$。

因为 $t_1(n)=O(g_1(n))$，且存在正常量 $c_1$ 和非负整数 $n_1$，使得对于所有的 $n≥n_1$，有 $t_1(n)≤c_1g_1(n)$。同理，因为 $t_2(n)=O(g_2(n))$，对于所有的 $n≥n_2$，亦有 $t_2(n)≤c_2g_2(n)$。

假设 $c_3=\max\{c_1,c_2\}$ 并且 $n≥\max\{n_1,n_2\}$，就可以利用两个不等式的结论将其相加，得出以下结论：

$$ \begin{align} t_1(n)+t_2(n)&≤c_1g_1(n)+c_2g_2(n)\\ &≤c_3g_1(n)+c_3g_2(n)=c_3[g_1(n)+g_2(n)]\\ &≤c_3⋅2\max\{g_1(n),g_2(n)\} \end{align} $$

也就是说，对于两个连续执行部分组成的算法，它的整体效率是由具有较大增长次数的部分所决定的，即效率较差的部分决定。

二：计算复杂度

对于一个普通函数（即非递归函数），其时间复杂度自然易求。下面我们主要谈谈如何求解递归函数的时间复杂度。

递归函数通常会有以下的方程式：

$$ T(n)=aT(\frac nb)+f(n)\tag{2.1} $$

其中，$a≥1,b>1$，且都是常数，$f(n)$ 是渐近正函数。递归式 $(2.1)$ 描述的是这样一种算法的运行时间：它将规模为 $n$ 的问题分解为 $a$ 个子问题，每个子问题规模为 $\frac nb$，其中 $a≥1,b>1$。$a$ 个子问题递归地求解，每个花费时间 $T(\frac nb)$。函数 $f(n)$ 包含了问题分解和子问题解合并的代价。

解决上述方程式常用的方法有两种：主定理 和 分治法。

主定理（Master Theorem）

令 $a≥1,b>1$，且都是常数，$f(n)$ 是一个函数，$T(n)$ 是定义在非负整数上的递归式，即：

$$ T(n)=aT(\frac nb)+f(n) $$

其中我们将 $\frac nb$ 解释为 $⌊\frac nb⌋$ 或 $⌈\frac nb⌉$。那么 $T(n)$ 有如下渐近界：

（Case 1）如果 $f(n)=O(n^c)$，其中 $c<log_ba$，则：

$$ T(n)=Θ(n^{log_ba}) $$

（Case 2）如果存在常数 $k≥0$，使 $f(n)=Θ(n^clog^{k}n)$，其中 $c=log_ba$，则：

$$ T(n)=Θ(n^clog^{k+1}n) $$

（Case 3）如果 $f(n)=Ω(n^c)$，其中 $c>log_ba$，并且对某个常数 $k<1$ 和所有足够大的 $n$ 有 $af(\frac nb)≤kf(n)$，则：

$$ T(n)=Θ(f(n)) $$

算法导论已有关于这个定理的证明，篇幅较长，故此处省略，有兴趣的读者可以自己去翻阅下。

分治法

分治法先把给定的实例划分为若干个较小的实例，对每个实例递归求解，然后如果有必要，再把较小实例的解合并成给定实例的一个解。假设所有较小实例的规模都为 $\frac nb$，其中 $a$ 个实例需要实际求解，对于 $n=b^k,k=1,2,3...$，其中 $a≥1,b>1$，得到以下结果：

$$ \begin{align} T(n)&=aT(\frac nb)+f(n)\tag{($2.1$) 递归方程式}\\ T(b^k)&=aT(b^{k-1})+f(b^k)\\\ &=a[aT(b^{k-2})+f(b^{k-1})]+f(b^k)=a^2T(b^{k-2})+af(b^{k-1})+f(b^k)\\ &=a^3T(b^{k-3})+a^2f(b^{k-2})+af(b^{k-1})+f(b^k)\\ &=...\\ &=a^kT(1)+a^{k-1}f(b^1)+a^{k-2}f(b^2)+...+a^0f(b^k)\\ &=a^k[T(1)+\sum_{j=1}^{k} {\frac {f(b^j)}{a^j}}]\tag{2.2.7} \end{align} $$

由于 $a^k=a^{log_bn}=n^{log_ba}$,当 $n=b^k$ 时，对于式 $(2.2.7)$ 我们可以推出下式：

$$ T(n)=n^{log_ba}[T(1)+\sum_{j=1}^{log_bn}{\frac {f(b^j)}{a^j}}]\tag{2.2.8} $$

显然，$T(n)$ 的增长次数取决于常数 $a$ 和 $b$ 的值以及函数 $f(n)$ 的增长次数。

三：常见的定理

以下是常用的的两条定理，它们依旧建立在递归方程式中，即：

$$ T(n)=aT(\frac nb)+f(n)\tag{$a≥1,b>1$} $$

根据以上的方程式有以下两个定理：

定理 1

定理 1 对于 $(2.1)$ 递归方程式，若 $a=1,b>1,f(n)=c,c$ 为某个常数，即：

$$ T(n)=T(\frac nb)+c $$

则：

$$ T(n)=Θ(logn) $$

证明 应用主定理 Case 2，其中 $c=log_ba=log_b1=0$，再使 $k=0$，则 $f(n)=Θ(n^clog^kn)=Θ(1)$，这里的 $f(n)$ 即等于常数 $c$，证明成立。

定理 2

定理 2 对于 $(2.1)$ 递归方程式，若 $a=1,b>1,f(n)=kn+p$，其中 $k>0,p>0$ 且为某个常数（也就是 $f(n)$ 是一个线性直线方程），即：

$$ T(n)=T(\frac nb)+(kn+p)\tag{$b>1,k>0,p$ 为某个常数} $$

则：

$$ T(n)=Θ(n) $$

证明 应用分治法中 $(2.2.8)$：

$$ \begin{align} T(n)&=n^{log_ba}[T(1)+\sum_{j=1}^{log_bn}{\frac {f(b^j)}{a^j}}]\\ &=\sum_{j=1}^{log_bn}{(kb^j+p)}\\ &=plog_bn+\frac {kb}{b-1}(n-1)\tag{$k>0,p>0,b>1$}\\ &<pn+\frac {kb}{b-1}(n-1)\\ &=cn-\frac {kb}{b-1}\tag{$c>0$ 且为某个常数}\\ &=Θ(n) \end{align} $$

证明成立。

四：参考文献

• 算法设计与分析基础
• 维基百科. 主定理