Manacher 算法

原文：https://ethsonliu.com/2018/04...

给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：

1. s="abcd"，最长回文长度为 1；
2. s="ababa"，最长回文长度为 5；
3. s="abccb"，最长回文长度为 4，即 bccb。

以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为 $O(n^2)$，效率很差。

1975 年，一个叫 Manacher 的人发明了一个算法，Manacher 算法（中文名：马拉车算法），该算法可以把时间复杂度提升到 $O(n)$。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

算法过程分析

由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：

1. 在字符串首尾及每个字符间都插入一个 "#"，这样可以使得原先的奇偶回文都变为奇回文；
2. 接着再在首尾两端各插入 "$" 和 "^"，这样中心扩展寻找回文的时候会自动退出循环，不需每次判断是否越界，可参见下面代码。
3. 上述新插入的三个字符，即 "#"、 "$" 和 "^"，必须各异，且不可以与原字符串中的字符相同。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为 s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#^"。如此，s 里起初有一个偶回文 abba 和一个奇回文 opxpo，被转换为 #a#b#b#a# 和 #o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组 int p[]，其中 p[i] 表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#	o	#	^
p[i]	1	1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	6	1	2	1	2	1	1

可以看出，p[i] - 1 正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：

设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是 mx = id + p[id]。

假设我们现在求 p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果 i < mx，如上图，那么：

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i 为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而 p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用 p[j] 来加快查找。

代码

#include <iostream>  
#include <cstring>
#include <algorithm>  

using namespace std;

char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];

int Init()
{
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }

    s_new[j++] = '^';  // 别忘了哦
    s_new[j] = '\0';   // 这是一个好习惯
    
    return j;  // 返回 s_new 的长度
}

int Manacher()
{
    int len = Init();  // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换
    int max_len = -1;  // 最长回文长度

    int id;
    int mx = 0;

    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  // 需搞清楚上面那张图含义，mx 和 2*id-i 的含义
        else
            p[i] = 1;

        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  // 不需边界判断，因为左有 $，右有 ^
            p[i]++;

        // 我们每走一步 i，都要和 mx 比较，我们希望 mx 尽可能的远，
        // 这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码，从而提高效率
        if (mx < i + p[i])
        {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }

        max_len = max(max_len, p[i] - 1);
    }

    return max_len;
}

int main()
{
    while (printf("请输入字符串："))
    {
        scanf("%s", s);
        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
    }
    return 0;
}

测试如下：

请输入字符串：abbahopxpo
最长回文长度为 5

请输入字符串：a
最长回文长度为 1

请输入字符串：aa
最长回文长度为 2

请输入字符串：abax
最长回文长度为 3

算法复杂度分析

文章开头已经提及，Manacher 算法为线性算法，即使最差情况下其时间复杂度亦为 $O(n)$，在进行证明之前，我们还需要更加深入地理解上述算法过程。

根据回文的性质，p[i] 的值基于以下三种情况得出：

（1）：j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下图：

上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时 p[i] = mx - i，即紫线。那么 p[i] 还可以更大么？答案是不可能！见下图：

假设右侧新增的紫色部分是 p[i] 可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故 p[i] = mx - i，不可以再增加一分。

（2）：j 回文串全部在 id 的内部，如下图：

根据代码，此时 p[i] = p[j]，那么 p[i] 还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：

假设右侧新增的红色部分是 p[i] 可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故 p[i] = p[j]，也不可以再增加一分。

（3）：j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：

根据代码，此时 p[i] = p[j] 或 p[i] = mx - i，并且 p[i] 还可以继续增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) 
    p[i]++;

根据（1）（2）（3），很容易推出 Manacher 算法的最坏情况，即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究 Manacher() 中的 for 语句，推算发现 for 语句内平均访问每个字符 5 次，即时间复杂度为：$T_{worst}(n)=O(n)$。

同理，我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度，即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每个字符 4 次，即时间复杂度为：$T_{best}(n)=O(n)$。

综上，Manacher 算法的时间复杂度为 $O(n)$。