Manacher算法

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原文链接:https://subetter.com/algorith...

一:背景

给定一个字符串,求出其最长回文子串。例如:

  1. s="abcd",最长回文长度为 1;
  2. s="ababa",最长回文长度为 5;
  3. s="abccb",最长回文长度为 4,即bccb。

以上问题的传统思路大概是,遍历每一个字符,以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为$O(n^2)$,效率很差。

1975年,一个叫Manacher的人发明了一个算法,Manacher算法(中文名:马拉车算法),该算法可以把时间复杂度提升到$O(n)$。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

二:算法过程分析

由于回文分为偶回文(比如 bccb)和奇回文(比如 bcacb),而在处理奇偶问题上会比较繁琐,所以这里我们使用一个技巧,具体做法是:在字符串首尾,及各字符间各插入一个字符(前提这个字符未出现在串里)。

举个例子:s="abbahopxpo",转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"(这里的字符 $ 只是为了防止越界,下面代码会有说明),如此,s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo,被转换为#a#b#b#a##o#p#x#p#o#,长度都转换成了奇数

定义一个辅助数组int p[],其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径,例如:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
s_new[i] $ # a # b # b # a # h # o # p # x # p #
p[i] 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1

可以看出,p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组,如下图:

设置两个变量,mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界,也就是mx = id + p[id]

假设我们现在求p[i],也就是以 i 为中心的最长回文半径,如果i < mx,如上图,那么:

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i为 i 关于 id 的对称点,即上图的 j 点,而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径,因此我们可以利用p[j]来加快查找。

三:代码

#include <iostream>  
#include <cstring>
#include <algorithm>  

using namespace std;

char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];

int Init()
{
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }

    s_new[j] = '\0';  // 别忘了哦
    
    return j;  // 返回 s_new 的长度
}

int Manacher()
{
    int len = Init();  // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换
    int max_len = -1;  // 最长回文长度

    int id;
    int mx = 0;

    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  // 需搞清楚上面那张图含义, mx 和 2*id-i 的含义
        else
            p[i] = 1;

        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  // 不需边界判断,因为左有'$',右有'\0'
            p[i]++;

        // 我们每走一步 i,都要和 mx 比较,我们希望 mx 尽可能的远,这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码,从而提高效率
        if (mx < i + p[i])
        {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }

        max_len = max(max_len, p[i] - 1);
    }

    return max_len;
}

int main()
{
    while (printf("请输入字符串:\n"))
    {
        scanf("%s", s);
        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
    }
    return 0;
}

四:算法复杂度分析

文章开头已经提及,Manacher算法为线性算法,即使最差情况下其时间复杂度亦为$O(n)$,在进行证明之前,我们还需要更加深入地理解上述算法过程。

根据回文的性质,p[i]的值基于以下三种情况得出:

(1):j 的回文串有一部分在 id 的之外,如下图:

上图中,黑线为 id 的回文,i 与 j 关于 id 对称,红线为 j 的回文。那么根据代码此时p[i] = mx - i,即紫线。那么p[i]还可以更大么?答案是不可能!见下图:

假设右侧新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a 等于 d ,也就是说 id 的回文不仅仅是黑线,而是黑线+两条紫线,矛盾,所以假设不成立,故p[i] = mx - i,不可以再增加一分。

(2):j 回文串全部在 id 的内部,如下图:

根据代码,此时p[i] = p[j],那么p[i]还可以更大么?答案亦是不可能!见下图:

假设右侧新增的红色部分是p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a 等于 b ,也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ,矛盾,所以假设不成立,故p[i] = p[j],也不可以再增加一分。

(3):j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合,见下图:

根据代码,此时p[i] = p[j]p[i] = mx - i,并且p[i]还可以继续增加,所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) 
    p[i]++;

根据(1)(2)(3),很容易推出Manacher算法的最坏情况,即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究Manacher()中的for语句,推算发现for语句内平均访问每个字符5次,即时间复杂度为:$T_{worst}(n)=O(n)$。

同理,我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度,即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每个字符4次,即时间复杂度为:$T_{best}(n)=O(n)$。

综上,Manacher算法的时间复杂度为$O(n)$


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15 条评论
followStep · 2018年03月17日

id变量没有初始化,后面直接就用了 p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

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0

我也看到了,那么应该初始化为0吗?

打洞 · 2018年03月17日
0

//这是我写的一个版本,调试过了,你可以参考一下
//#define LOCALE

include <cstdio> include <cstring> include <algorithm>

using namespace std;

define MAXLEN 100000

char str[MAXLEN];
char assi[MAXLEN*2];
int r[MAXLEN*2];

void init();
int manacher();
int main()
{

ifdef LOCALE
freopn(".in", "r", stdin)
freopen(".out", "w", stdout)
endif
scanf("%s", str);
init();
int maxLen = manacher();

printf("%d", maxLen);

return 0;

}

void init()
{

int len = strlen(str);
assi[0] = '#';
int j = 1;
for(int i=0; i<len; i++){
    assi[j++] = str[i];
    assi[j++] = '#';
}
assi[j] = '\0';

}

int manacher()
{

int len = strlen(assi);
int bound=0, cent=0;
int maxLen = 0;
for(int i=0; i<len; i++){
    if(i < bound)
        r[i] = min(r[2*cent-i], bound-i+1);
    else
        r[i] = 1;
        
    while(i-r[i]>=0 && i+r[i]<len && assi[i-r[i]] == assi[i+r[i]])
        r[i]++;
        
    if(bound < i+r[i]-1){
        cent = i;
        bound = i+r[i]-1;
    }
    
    if(r[i]-1 > maxLen)
        maxLen = r[i]-1;
}

return maxLen;

}

followStep · 2018年03月17日
0

第一次for循环的时候,p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i)是肯定不会执行的, because i > mx.

matrix · 2018年04月16日
逃猫 · 2018年09月01日

这博客写的真tm漂亮,有一种看到美女的感觉

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Mybing · 2018年02月01日

但是为什么最前面要加一个$呢?

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0

好像是为了防止数组溢出,具体的我还在想

张胜 · 2018年02月28日
张胜 · 2018年02月28日

你好,请问s_new[4]的最长回文半径是不是写错了,那里应该是2吧

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我也觉得是2

followStep · 2018年03月17日
0

对,是2,开始我还以为我理解错了

JZYshuraK · 2018年03月30日
DefFrancis丶 · 2018年04月22日

写的挺好的!

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张云帆 · 2018年07月11日

mx = id + p[id] - 1 吧

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shenmao · 2018年07月27日

怎么理论分析那部分就只讨论了 i < mx 一种情况,i == mx 和 i > mx 呢?

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  1. mx是动态更新的,即出现博主算法分析中的情况2
  2. i>=mx时候,是需要中心扩展的,这也会更新mx,当然极端情况下,即mx后的所有字串都不是回文串,那么mx会一点点向右扩展。
keai · 3月9日
woriazzc · 7月16日

感觉复杂度分析的1,2不太对,1应该是推出 id 的左边界可延伸到 j 的左边界,2应该是推出 j 的左边界可延伸到 id 的左边界,所以与假设矛盾。

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