二分查找

由一道题目引出的:

题目描述

给定一个有序的数组,查找某个数是否在数组中,请编程实现。

分析与解法

一看到数组本身已经有序,我想你可能反应出了要用二分查找,毕竟二分查找的适用条件就是有序的。那什么是二分查找呢?

二分查找可以解决(预排序数组的查找)问题:只要数组中包含T(即要查找的值),那么通过不断缩小包含T的范围,最终就可以找到它。其算法流程如下:

一开始,范围覆盖整个数组。
将数组的中间项与T进行比较,如果T比数组的中间项要小,则到数组的前半部分继续查找,反之,则到数组的后半部分继续查找。
如此,每次查找可以排除一半元素,范围缩小一半。就这样反复比较,反复缩小范围,最终就会在数组中找到T,或者确定原以为T所在的范围实际为空。
对于包含N个元素的表,整个查找过程大约要经过log(2)N次比较。

此时,可能有不少读者心里嘀咕,不就二分查找么,太简单了。

然《编程珠玑》的作者Jon Bentley曾在贝尔实验室做过一个实验,即给一些专业的程序员几个小时的时间,用任何一种语言编写二分查找程序(写出高级伪代码也可以),结果参与编写的一百多人中:90%的程序员写的程序中有bug(我并不认为没有bug的代码就正确)。

也就是说:在足够的时间内,只有大约10%的专业程序员可以把这个小程序写对。但写不对这个小程序的还不止这些人:而且高德纳在《计算机程序设计的艺术 第3卷 排序和查找》第6.2.1节的“历史与参考文献”部分指出,虽然早在1946年就有人将二分查找的方法公诸于世,但直到1962年才有人写出没有bug的二分查找程序。

你能正确无误的写出二分查找代码么?不妨一试,关闭所有网页,窗口,打开记事本,或者编辑器,或者直接在本文评论下,不参考上面我写的或其他任何人的程序,给自己十分钟到N个小时不等的时间,立即编写一个二分查找程序。

正文:二分查找

关于二分查找法

二分查找法主要是解决在“一堆数中找出指定的数”这类问题。

而想要应用二分查找法,这“一堆数”必须有一下特征:(1)存储在数组中 (2) 有序排列
所以如果是用链表存储的,就无法在其上应用二分查找法了。

至于是顺序递增排列还是递减排列,数组中是否存在相同的元素都不要紧。不过一般情况,我们还是希望并假设数组是递增排列,数组中的元素互不相同。

二分查找法的基本实现

二分查找法在算法家族大类中属于“分治法”,分治法基本都可以用递归来实现的,二分查找法的递归JS实现如下:

function bsearch(array,low,high,target)
{
    if (low > high) return -1;
    var mid = Math.floor((low + high)/2);
    if (array[mid]> target){
        return  bsearch(array, low, mid -1, target);
    } else if (array[mid]< target){
        return  bsearch(array, mid+1, high, target);
    }ese{return mid;}
        
}

不过所有的递归都可以自行定义stack来解递归,所以二分查找法也可以不用递归实现,而且它的非递归实现甚至可以不用栈,因为二分的递归其实是尾递归,它不关心递归前的所有信息。

function bsearchWithoutRecursion(array,low,high,target)
{
    while(low <= high)
    {
        var mid = Math.floor((low + high)/2);
        if (array[mid] > target){
            high = mid - 1;
        }else if (array[mid] < target){
            low = mid + 1;
        }else{
            return mid;
        }
    }
    return -1;
}

用二分查找法找寻边界值

之前的都是在数组中找到一个数要与目标相等,如果不存在则返回-1。我们也可以用二分查找法找寻边界值,也就是说在有序数组中找到“正好大于(小于)目标数”的那个数。
用数学的表述方式就是:
在集合中找到一个大于(小于)目标数t的数x,使得集合中的任意数要么大于(小于)等于x,要么小于(大于)等于t。

举例来说:
给予数组和目标数
var array = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17};
var target = 7;
那么上界值应该是11,因为它“刚刚好”大于7;下届值则是5,因为它“刚刚好”小于7。

用二分查找法找寻上界

function BSearchUpperBound(array,low,high,target)
{
    if(low > high || target >= array[high]) return -1;
    
    var mid = (low + high) / 2;
    while (high > low)
    {
        if (array[mid] > target){
            high = mid;
       } else{
            low = mid + 1; 
       }
        mid = (low + high) / 2;
    }

    return mid;
}

与精确查找不同之处在于,精确查找分成三类:大于,小于,等于(目标数)。而界限查找则分成了两类:大于和不大于。
如果当前找到的数大于目标数时,它可能就是我们要找的数,所以需要保留这个索引,也因此if (array[mid] > target)时 high=mid; 而没有减1。

用二分查找法找寻下界

function BSearchLowerBound(array,low,high,target)
{
    if(high < low  || target <= array[low]) return -1;
    
    var mid = (low + high + 1) / 2; //make mid lean to large side
    while (low < high)
    {
        if (array[mid] < target){
            low = mid;
        }else{
            high = mid - 1;
        }
        mid = (low + high + 1) / 2;
    }

    return mid;
}

下届寻找基本与上届相同,需要注意的是在取中间索引时,使用了向上取整。若同之前一样使用向下取整,那么当low == high-1,而array[low] 又小于 target时就会形成死循环。因为low无法往上爬超过high。
这两个实现都是找严格界限,也就是要大于或者小于。如果要找松散界限,也就是找到大于等于或者小于等于的值(即包含自身),只要对代码稍作修改就好了:

去掉判断数组边界的等号:
target >= array[high]改为 target > array[high]
在与中间值的比较中加上等号:
array[mid] > target改为array[mid] >= target

用二分查找法找寻区域

之前我们使用二分查找法时,都是基于数组中的元素各不相同。假如存在重复数据,而数组依然有序,那么我们还是可以用二分查找法判别目标数是否存在。不过,返回的index就只能是随机的重复数据中的某一个。

此时,我们会希望知道有多少个目标数存在。或者说我们希望数组的区域。
结合前面的界限查找,我们只要找到目标数的严格上届和严格下届,那么界限之间(不包括界限)的数据就是目标数的区域了。

//return type: pair<int, int>
//the fisrt value indicate the begining of range,
//the second value indicate the end of range.
//If target is not find, (-1,-1) will be returned
pair<int, int> SearchRange(int A[], int n, int target) 
{
    pair<int, int> r(-1, -1);
    if (n <= 0) return r;
    
    int lower = BSearchLowerBound(A, 0, n-1, target);
    lower = lower + 1; //move to next element
    
    if(A[lower] == target)
        r.first = lower;
    else //target is not in the array
        return r;
    
    int upper = BSearchUpperBound(A, 0, n-1, target);
    upper = upper < 0? (n-1):(upper - 1); //move to previous element
    
    //since in previous search we had check whether the target is
    //in the array or not, we do not need to check it here again
    r.second = upper;
    
    return r;
}

它的时间复杂度是两次二分查找所用时间的和,也就是O(log n) + O(log n),最后还是O(log n)。

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