JavaScript解斐波那契(Fibonacci)数列的实用解法

我们经常会在面试题中看到如下题目：输入n，求斐波那契数列的第n项，斐波那契数列的定义如下：

F(0)=0, F(1)=1, n>1时，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

一种效率很低的解法

当遇到这种函数时，我们很容易的想到递归函数，解法如下：

function fibonacci(n) {
  if(n <= 1) {return n};
  else {
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
  }
}

这个方法确实能解决这道题目，但递归的解法并不适合这道题目，用递归解法将会有很严重的效率问题，我们以f(10)为例分析一下原因：

由上述图片我们可以看出，要想求得f(10),需要先求得f(8)和f(9)，同样，要想求得f(9)，也要求得f(7)和f(8)。不难看出，树结构当中很多结点是重复的，而且重复的节点数会随着n的增大而急剧增大，这意味着计算量将会随着n的增大而急剧增大。事实上，递归所需的时间复杂度是以n的指数方式递增的，由此我们可以试试当n为100时需要耗费的时间会有多长，这是难以接受的。

动态规划解法

造成效率低下的主要原因就是重复计算太多，我们只要想个办法避免重复计算即可，这里有个很容易的算法：

var fib = 0,
    fib1 = 0,
    fib2 = 1;
function fibonacci(n) {
  if(n <= 1){
    return n;
  } else {
    for(var i =1; i < n; ++i) {
      fib = fib1 + fib2;
      fib1 = fib2;
      fib2 = fib;
    }
    return fib;
  }
}

理解这种方法很简单，我们只是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2),再根据f(1)和f(2)算出f(3)，依次类推我们就可以算出第n项了，而这种算法的时间复杂度仅为O(n)，比递归函数的写法效率要大大增强。

Memoization

我们还可以将已经得到的数列中间项保存起来，若下次计算的时候我们先查找一下，若前面已经出现过则不用再重复计算了。

在JavaScript中，递归是拖慢脚本运行速度的罪魁祸首之一，太多的递归会让浏览器越来越慢乃至奔溃，这是需要我们解决的性能问题。

我们可以使用memoization技术来替代函数中太多的递归调用，memoization是一种可以缓存之前运算结果的一种技术，当在执行运算操作时，我们先从缓存对象中读取看看是否有我们需要读取的值，若有则直接从缓存对象中读取，若没有则进行计算，并将缓存结果存入缓存对象中。

下面是一个可以处理很多类型递归函数的memoizer()函数：

`function memoizer(fun, cache) {

 cache = cache || {};
 var shell = function(arg) {
   if( ! (arg in cache)) {
     cache[arg] = fun(shell, arg);
   }
   return cache[arg];
 } ;
 return shell;

其中第一个参数为原有函数，第二个参数为缓存对象，是可选参数（因为并不是所有递归函数都包含初始信息）。首先将缓存对象的类型从数组转换为对象，这样就可以适用于那些不是返回整数的递归函数。使用in操作符判断参数是否已经包含在了缓存里，会比测试cache[arg]更安全些，因为undefined是一个有效的返回值(这里其实我也不太明白，弄清楚后会补上)。

接下来我们就可以调用memoizer来解这个这个问题:

var fibonacci = memoizer(function(fibon, n) {
  return fibon(n - 1) + fibon(n - 2);
}, {'0' : 0, '1' : 1});

这时我们就可以通过fibonacci(100)来执行函数，同样运用此种方法复杂度为O(n)，大大优化了执行效率。

后记

个人更喜欢memoizer的解法，因为我觉得这种解法更加的优雅，运用了JavaScript函数式编程的特性，非常值得借鉴。

在我看来，函数的执行效率很重要，勿以事小而不为，平时多积累一些优秀的解法，从平时的小知识点出发，慢慢进步，假以时日终将也可以写出优雅高效率的方法

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