学习JavaScript数据结构与算法 — 树

定义

树同散列表一样，是一种非顺序数据结构。现实中树的例子有家谱、公司组织架构图及其它树形结构关系。
树由一系列节点构成，每个节点都有一个父节点（除根节点外）以及零个或多个子节点，如图：

树中的每一个元素叫作节点，最顶部的节点叫作根节点。至少有一个子节点的节点称为内部节点（如图中的7、9、15、13、20），没有子节点的节点称为外部节点或叶节点（如图中的3、 6、 8、 10、 12、 14等）。一个节点可以包括祖先及后代，祖先包括父节点、祖父节点等，后代包括子节点、孙节点等。一个节点及其后代可以组成一个子树（如图中的13、12、14）。节点的深度指节点祖先节点的数量（如图中的节点6的深度为3）。树的高度指树中节点深度的最大值。上图中，节点中的数字称为键。

• 二叉树：二叉树指节点最多只能包含两个子节点的树，即左侧子节点与右侧子节点。二叉树有利于高效地插入、查找、删除节点。

• 二叉搜索树：二叉搜索树是二叉树的一种，它的左侧节点的值必须大于右侧节点的值，上图就是一个二叉搜索树。优化的二叉搜索树包括AVL树、红黑树（待完成）等

方法

• insert(key)：向树中插入一个新的键。

• search(key)：在树中查找一个键，如果节点存在，则返回true；如果不存在，则返回false。

• inOrderTraverse：通过中序遍历方式遍历所有节点。

• preOrderTraverse：通过先序遍历方式遍历所有节点。

• postOrderTraverse：通过后序遍历方式遍历所有节点。

• min：返回树中最小的值/键。

• max：返回树中最大的值/键。

• remove(key)：从树中移除某个键。

实现

首选实现二叉查找树类的骨架

// 二叉查找树类
function BinarySearchTree() {
    // 用于实例化节点的类
    var Node = function(key){
        this.key = key; // 节点的健值
        this.left = null; // 指向左节点的指针
        this.right = null; // 指向右节点的指针
    };
    var root = null; // 将根节点置为null
}

insert方法，向树中插入一个新的键。遍历树，将插入节点的键值与遍历到的节点键值比较，如果前者大于后者，继续递归遍历右子节点，反之，继续遍历左子节点，直到找到一个空的节点，在该位置插入。

this.insert = function(key){
    var newNode = new Node(key); // 实例化一个节点
    if (root === null){
        root = newNode; // 如果树为空，直接将该节点作为根节点
    } else {
        insertNode(root,newNode); // 插入节点（传入根节点作为参数）
    }
};
// 插入节点的函数
var insertNode = function(node, newNode){
    // 如果插入节点的键值小于当前节点的键值
    // （第一次执行insertNode函数时，当前节点就是根节点）
    if (newNode.key < node.key){
        if (node.left === null){
            // 如果当前节点的左子节点为空，就直接在该左子节点处插入
            node.left = newNode;
        } else {
            // 如果左子节点不为空，需要继续执行insertNode函数，
            // 将要插入的节点与左子节点的后代继续比较，直到找到能够插入的位置
            insertNode(node.left, newNode);
        }
    } else {
        // 如果插入节点的键值大于当前节点的键值
        // 处理过程类似，只是insertNode函数继续比较的是右子节点
        if (node.right === null){
            node.right = newNode;
        } else {
            insertNode(node.right, newNode);
        }
    }
}

在下图的树中插入健值为6的节点，过程如下：

树的遍历

树的遍历指访问树的每一个节点，并对节点做一定操作。遍历树主要有三种方式：中序、先序、后序。

中序遍历

中序遍历严格按照从小到大的方式遍历树，也就是优先访问左子节点，相当于对树进行了排序。

this.inOrderTraverse = function(callback){
    // callback用于对遍历到的节点做操作
    inOrderTraverseNode(root, callback);
};
var inOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    // 遍历到node为null为止
    if (node !== null) {
        // 优先遍历左边节点，保证从小到大遍历
        inOrderTraverseNode(node.left, callback);
        // 处理当前的节点
        callback(node.key);
        // 遍历右侧节点
        inOrderTraverseNode(node.right, callback);
    }
};

对下图的树做中序遍历，并输出各个节点的键值：

tree.inOrderTraverse(function(value){
        console.log(value);
});

依次输出：3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 20 25，
遍历过程如图：

先序遍历

先序遍历先访问节点本身，再遍历其后代节点，最后遍历其兄弟节点。它的一种应用是打印一个结构化的文档。

this.preOrderTraverse = function(callback){
    // 同样的，callback用于对遍历到的节点做操作
    preOrderTraverseNode(root, callback);
};
var preOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    // 遍历到node为null为止
    if (node !== null) {
        callback(node.key); // 先处理当前节点
        preOrderTraverseNode(node.left, callback); // 再继续遍历左子节点
        preOrderTraverseNode(node.right, callback); // 最后遍历右子节点
    }
};

用先序遍历遍历下图所示的树，并打印节点键值，输出结果：11 7 5 3 6 9 8 10 15 13 12 14 20 18 25，
遍历过程如图：

后序遍历

后序遍历先访问节点的后代节点，再访问节点本身。它的一种应用是计算一个目录和它的子目录中所有文件的大小。

this.postOrderTraverse = function(callback){
    postOrderTraverseNode(root, callback);
};
var postOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    if (node !== null) {
        postOrderTraverseNode(node.left, callback); //{1}
        postOrderTraverseNode(node.right, callback); //{2}
        callback(node.key); //{3}
    }
};

可以看到，中序、先序、后序遍历的实现方式几乎一模一样，只是{1}、{2}、{3}行代码的执行顺序不同。
对下图的树进行后序遍历，并打印键值：3 6 5 8 10 9 7 12 14 13 18 25 20 15 11，
遍历过程如图：

树的搜索

搜索最小值

在二叉搜索树里，不管是整个树还是其子树，最小值一定在树最左侧的最底层。因此给定一颗树或其子树，只需要一直向左节点遍历到底就行了。

this.min = function(node) {
    // min方法允许传入子树
    node = node || root;
    // 一直遍历左侧子节点，直到底部
    while (node && node.left !== null) {
        node = node.left;
    }
    return node;
};

搜索最大值

搜索最大值与搜索最小值类似，只是沿着树的右侧遍历。

this.max = function(node) {
    // min方法允许传入子树
    node = node || root;
    // 一直遍历左侧子节点，直到底部
    while (node && node.right !== null) {
        node = node.right;
    }
    return node;
};

搜索特定值

搜索特定值的处理与插入值的处理类似。遍历树，将要搜索的值与遍历到的节点比较，如果前者大于后者，则递归遍历右侧子节点，反之，则递归遍历左侧子节点。

this.search = function(key, node){
    // 同样的，search方法允许在子树中查找值
    node = node || root;
    return searchNode(key, node);
};
var searchNode = function(key, node){
    // 如果node是null，说明树中没有要查找的值，返回false
    if (node === null){
        return false;
    }
    if (key < node.key){
        // 如果要查找的值小于该节点，继续递归遍历其左侧节点
        return searchNode(node.left, key);
    } else if (key > node.key){
        // 如果要查找的值大于该节点，继续递归遍历其右侧节点
        return searchNode(node.right, key);
    } else {
        // 如果要查找的值等于该节点，说明查找成功，返回改节点
        return node;
    }
};

移除节点

移除节点，首先要在树中查找到要移除的节点，再判断该节点是否有子节点、有一个子节点或者有两个子节点，最后分别处理。

this.remove = function(key, node){
    // 同样的，允许仅在子树中删除节点
    node = node || root;
    removeNode(key, node);
};
var removeNode = function (node, key) {
    // 找到要删除的节点
    var delete_node = this.search(node, key);
    // 如果node不存在，直接返回
    if (node === false) {
        return null;
    }
    // 第一种情况，该节点没有子节点
    if (node.left === null && node.right === null) {
        node = null;
        return node;
    }
    // 第二种情况，该节点只有一个子节点的节点
    if (node.left === null) { // 只有右节点
        node = node.right;
        return node;
    } else if (node.right === null) { // 只有左节点
        node = node.left;
        return node;
    }
    // 第三种情况，有有两个子节点的节点
    // 将右侧子树中的最小值，替换到要删除的位置
    // 找到最小值
    var aux = this.min(node.right);
    // 替换
    node.key = aux.key;
    // 删除最小值
    node.right = removeNode(node.right, aux.key);
    return node;
}

第三种情况的处理过程，如下图所示。当要删除的节点有两个子节点时，为了不破坏树的结构，删除后要替补上来的节点的键值大小必须在已删除节点的左、右子节点的键值之间，且替补上来的节点不应该有子节点，否则会产生一个节点有多个字节点的情况，因此，找右侧子树的最小值替换上来。同理，找左侧子树的最大值替换上来也可以。