关于求杨辉三角形mn值的算法

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形、海亚姆三角形，是二项式系数在的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算术》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算术》，故又名贾宪三角形。

前9层写出来如下：
　　　　　　　　１
　　　　　　　１　１
　　　　　　１　２　１
　　　　　１　３　３　１
　　　　１　４　６　４　１
　　　１　５　10　10　５　１
　　１　６　15　20　15　６　１
　１　７　21　35　35　21　７　１
１　８　28　56　70　56　28　８　１

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递归法

首先给大家介绍一种最简单的求杨辉三角mn值的方法（m为行，n为列，比如(5,3)即为第五行第三个，值为6）即为递归法：

function recursion($m, $n) {
    if ($n == 1 || $n == $m || $m == 1) {
        return 1;
    }

    $val = recursion($m-1, $n - 1) + recursion($m-1, $n);

    return $val;
}

这种方法实现最简单，但是如果mn的值特别大的话，性能会非常差，我试了个100，78，就把机器卡死了。。

迭代法

迭代法从第一层开始循环，只循环每行中必要的列，最后求出mn位置的值。代码如下：

function setNum($row, $list)
{
    $arr = array();
    for ($i = 0; $i < $row; $i++) {
        $start = ($list - ($row - $i)) < 0 ? 0 : ($list - ($row - $i));
        $end = ($list - 1) > $i ? $i : ($list - 1);
        for ($j = $start; $j <= $end; $j++) {
            if ($i == 0 || $i == 1 || $j == 0 || $i == $j) {
                $arr[$i][$j] = 1;
            } else {
                $arr[$i][$j] = $arr[$i - 1][$j] + $arr[$i - 1][$j - 1];
            }
        }
    }
    return $arr[--$row][--$list];
}

公式法

当然了，根据杨辉三角的性质:第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1),用排列组合的公式也可以获得mn的值，代码如下：

function express($m, $n) {
    $up = 1;
    for ($i = $m - 1; $i > ($m - $n); $i--) {
        $up *= $i;
    }


    $down = 1;
    for ($i = $n - 1; $i > 0; $i--) {
        $down *= $i;
    }

    return $up / $down;
}