python实现牛顿法求解求解最小值（包括拟牛顿法）【最优化课程笔记】

什么是牛顿法

在第９章中介绍了一维搜索的牛顿法,什么是一维搜索的牛顿法？
首先介绍一下一维搜索

一维搜索

一维搜索其实也很简单，在许多迭代下降算法中，具有一个共同的特点，就是得到点x(k)后，需要按照某种规则确定一个方向d(k)，再从x(k)出发，沿着d(k)的方向上求目标函数的极小点。从而得到x(k+1)，重复以上做法，知道求得问题的解。这就是一维搜索。上面提到的d可以称作为步长因子。

一维搜索的方法有很多，归纳起来可以大体分成两类。

• 试探法　：　这种方法需要按照某种方式找试探点，通过一系列试探点来确定极小点。

• 函数逼近法，或是插值法　：　用某种简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。

里面的种种门道也是颇为复杂，这里就讲讲一维搜索的牛顿法，这是函数逼近法的一种。

一维搜索的牛顿法

牛顿法的基本思想是，在极小点附近用二阶Taylor多项式近似目标函数f(x)，进而求出极小点的估计值。

假设，考虑问题

$$min f(x), x\in\Re.$$

令

$$\phi(x) = f(x^{(k)}) + f^{'}(x^{(k)})(x-x^{(k)}) + \frac{1}{2}f^{''}(x^{(k)})(x-x^{(k)})^2$$

又令

$$\phi^{'}(x) = f^{'}(x^{(k)}) + f^{''}(x^{(k)})(x-x^{(k)}) = 0$$

得到 $ phi(x) $ 的驻点，记作x(k+1)，则
$$x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{f^{'}(x^{(k)})}{f^{''}(x^{(k)})}$$

有了以上公式的推导，相信已经能够理解，下面为了加深对这个算法的印象，毕竟大家都是程序员，需要用伪代码才能说服对方。

牛顿法的计算步骤：

（１）给定初始点　x(0)，允许误差　delta > 0 ，置k = 0
（２）若
　

$$ f^{'}(x^{(k)}) < delta $$

则迭代停止，，得到结果。
（３）计算点

$$x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{f^{'}(x^{(k)})}{f^{''}(x^{(k)})}$$

 置　k:=k+1,转步骤（２）
 

运用牛顿法是，初始点选择十分重要，如果初始点靠近极小点，则可能很快收敛，如果初始点远离极小点，迭代产生的点列可能不收敛于极小点。

牛顿法

一般来讲的牛顿法是使用导数的最优化方法，这里的牛顿法和一维搜索的牛顿法差别在于更新公式的不同，这里的迭代公式如下。

$$x^{(k)} = x^{(k)} - \nabla^{2}f(x^{(k)})^{-1} \nabla f(x^{(k)})$$

计算的步骤也是一样的。

其实误差delta可以设置是１-范式，也可以是2-范式。

coding time

"""
Newton法
Rosenbrock函数
函数 f(x)
梯度 g(x)
hessen 矩阵
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 一阶导
def jacobian(x):
    return np.array([2*x[0]+3,2*x[1]+4])

# 二阶导
def hessian(x):
    return np.array([[2,0],[0,2]])

X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=x1**2+x2**2+3*x1+4*x2-26; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线


def newton(x0):

    print('初始点为:')
    print(x0,'\n')
    W=np.zeros((2,10**3))
    i = 1
    imax = 1000
    W[:,0] = x0 
    x = x0
    delta = 1

    while i<imax and delta>0.1:
        p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
        print(jacobian(x))
        print(hessian(x))
        x0 = x
        x = x + p
        W[:,i] = x
        delta = sum((x-x0))
        print('第'+str(i)+'次迭代结果:')
        print(x,'\n')
        i=i+1
    W=W[:,0:i]  # 记录迭代点
    return W

x0 = np.array([1,1])
W=newton(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()

代码注释的很清楚了，就不解释了，下面再提一句，如果更新时乘上了alpha值，就成了阻尼牛顿法。

"""
Newton法
Rosenbrock函数
函数 f(x)
梯度 g(x)
hessen 矩阵
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 一阶导
def jacobian(x):
    return np.array([2*x[0]+3,2*x[1]+4])

# 二阶导
def hessian(x):
    return np.array([[2,0],[0,2]])

X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=x1**2+x2**2+3*x1+4*x2-26; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线


def newton(x0):

    print('初始点为:')
    print(x0,'\n')
    W=np.zeros((2,10**3))
    i = 1
    imax = 1000
    W[:,0] = x0 
    x = x0
    delta = 1
    alpha = 0.1

    while i<imax and delta>0.1:
        p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
        print(jacobian(x))
        print(hessian(x))
        x0 = x
        x = x + alpha*p
        W[:,i] = x
        delta = sum((x-x0))
        print('第'+str(i)+'次迭代结果:')
        print(x,'\n')
        i=i+1
    W=W[:,0:i]  # 记录迭代点
    return W

x0 = np.array([1,1])
W=newton(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()