数据归一化

很多时候，如果不对数据进行归一化，会导致梯度下降复杂或是xgboost中的损失函数只能选择线性，导致模型效果不佳。下面我结合各类我看到的资料总结一下几种方式的归一化，并有python的实现。

从经验上说，归一化是让不同维度之间的特征在数值上有一定比较性，可以大大提高分类器的准确性。

如下有个形象的图解：

如果不归一化，各维特征的跨度差距很大，目标函数就会是“扁”的：

这里写图片描述

（图中椭圆表示目标函数的等高线，两个坐标轴代表两个特征）
这样，在进行梯度下降的时候，梯度的方向就会偏离最小值的方向，走很多弯路。

如果归一化了，那么目标函数就“圆”了：

这里写图片描述

在知乎里，有人这么回答：

主要看模型是否具有伸缩不变性。有些模型在各个维度进行不均匀伸缩后，最优解与原来不等价，例如SVM。对于这样的模型，除非本来各维数据的分布范围就比较接近，否则必须进行标准化，以免模型参数被分布范围较大或较小的数据dominate。有些模型在各个维度进行不均匀伸缩后，最优解与原来等价，例如logistic regression。对于这样的模型，是否标准化理论上不会改变最优解。但是，由于实际求解往往使用迭代算法，如果目标函数的形状太“扁”，迭代算法可能收敛得很慢甚至不收敛。所以对于具有伸缩不变性的模型，最好也进行数据标准化。

作者：王赟 Maigo
链接：https://www.zhihu.com/question/30038463/answer/50491149
来源：知乎
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max-min（Min-Max Normalization）

也称为离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果值映射到[0 - 1]之间。转换函数如下：

tips : 适用于本来就分布在有限范围内的数据。

$$x^{*}=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}$$

x_min表示样本数据的最小值，x_max表示样本数据的最大值。

def Normalization(x):
    return [(float(i)-min(x))/float(max(x)-min(x)) for i in x]


# 测试：
x=[1,2,1,4,3,2,5,6,2,7]
b=Normalization(x)

output：

[0.0, 0.16666666666666666, 0.0, 0.5, 0.3333333333333333, 0.16666666666666666, 0.6666666666666666, 0.8333333333333334, 0.16666666666666666, 1.0]

如果想要将数据映射到[-1,1]，则将公式换成：

$$x^{*}=\frac{x-x_{mean}}{x_{max}-x_{min}}$$

import numpy as np
def Normalization2(x):
    return [(float(i)-np.mean(x))/(max(x)-min(x)) for i in x]

# 测试
x=[1,2,1,4,3,2,5,6,2,7]
b=Normalization2(x)

output：

[-0.3833333333333333, -0.21666666666666665, -0.3833333333333333, 0.1166666666666667, -0.049999999999999968, -0.21666666666666665, 0.28333333333333338, 0.45000000000000001, -0.21666666666666665, 0.6166666666666667]

z-score 标准化方法

tips : 适用于分布没有明显边界的情况，受outlier影响也较小。

这种方法给予原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1，转化函数为：

$$x^{*}=\frac{x-\mu}{\sigma}$$

其中，μ表示所有样本数据的均值，σ表示所有样本的标准差。

import numpy as np
def z_score(x): 
    x_mean=np.mean(x) 
    s2=sum([(i-np.mean(x))*(i-np.mean(x)) for i in x])/len(x) 
    return [(i-x_mean)/s2 for i in x]

# 测试：
x=[1,2,1,4,3,2,5,6,2,7]
print z_score(x)

output:

[-0.57356608478802995, -0.32418952618453861, -0.57356608478802995, 0.17456359102244395, -0.074812967581047343, -0.32418952618453861, 0.42394014962593524, 0.67331670822942646, -0.32418952618453861, 0.92269326683291775]

总结

上面有两种方法，那么到底什么情况使用哪一个呢？

在分类、聚类算法中，需要使用距离来度量相似性的时候、或者使用PCA技术进行降维的时候，第二种方法(Z-score standardization)表现更好。
在不涉及距离度量、协方差计算、数据不符合正太分布的时候，可以使用第一种方法或其他归一化方法。比如图像处理中，将RGB图像转换为灰度图像后将其值限定在[0 255]的范围。

为什么在距离度量计算相似性、PCA中使用第二种方法(Z-score standardization)会更好呢？我们进行了以下的推导分析：

使用第二种方法进行计算，我们先不做方差归一化，只做0均值化，变换后数据为

$$x^{'} = x - overline{x} \

y^{'} = y - \overline{y}$$

新数据的协方差为：

$$\sigma^{'}_{xy} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(x^{'}_i-\overline{x^{'}})(y^{'}_i-\overline{y^{'}})$$

由于

$$\overline{x^{'}} = 0 \\ \overline{y^{'}} = 0$$

因此

$$\sigma^{'}_{xy} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(x^{'}_i)(y^{'}_i)$$

而原始数据的协方差为：

$$\sigma^{'}_{xy} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\ \space \space = \sigma^{'}_{xy} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(x^{'}_i)(y^{'}_i)$$

因此

$$\sigma^{'}_{xy} = \sigma_{xy}$$

以上说明了将数据变换成都减去均值后，$sigma$不变

接着做方差归一化：

$$x^{''} = frac{x - overline{x}}{sigma_x} \

y^{''} = \frac{y - \overline{y}}{\sigma_y}$$

结果如下：

$$sigma^{''}_{xy} = frac{1}{n}sum^{n}_{i=1}(x^{''}_i-overline{x^{''}})(y^{''}_i-overline{y^{''}}) \

\space \space \space \space \space= \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(\frac{x_i-\overline{x^{}}}{\sigma_x})(\frac{y^{}_i-\overline{y^{}}}{\sigma_y}) \\
\space \space \space \space \space \space\space\space\space\space\space\space = \frac{1}{n\sigma_x\sigma_y}\sum^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x^{}})(y^{}_i-\overline{y^{}}) \\ = \space\space\space\space\space\space\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$$

使用第一种方式计算，为了方便分析，我们对x维进行线性函数变换：

$$x^{'} = c_x · x\

y^{'} = c_y · y$$

计算协方差

$$sigma^{'}_{xy} = frac{1}{n}sum^{n}_{i=1}{(c_xx_i -c_xoverline{x})(c_yy_i -c_yoverline{y})} \
= c_xc_ysigma_{xy}$$

可以看到，使用第一种方法(线性变换后)，其协方差产生了倍数值的缩放，因此这种方式无法消除量纲对方差、协方差的影响，对PCA分析影响巨大；同时，由于量纲的存在，使用不同的量纲、距离的计算结果会不同。
而在第二种归一化方式中，新的数据由于对方差进行了归一化，这时候每个维度的量纲其实已经等价了，每个维度都服从均值为0、方差1的正态分布，在计算距离的时候，每个维度都是去量纲化的，避免了不同量纲的选取对距离计算产生的巨大影响。

总结来说，在算法、后续计算中涉及距离度量(聚类分析)或者协方差分析(PCA、LDA等)的，同时数据分布可以近似为正态分布，应当使用0均值的归一化方法。其他应用中更具需要选用合适的归一化方法。

paper done 2017/5/2

数据归一化