梯度下降算法

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梯度下降(gradient descent，steepest descent)是用来求函数最小值的迭代优化算法。梯度下降有可能得到是一个局部最优解。当损失函数是凸函数时，梯度下降法得到的解一定是全局最优解。因此梯度下降算法可以用来求解均方差的最小值。

相关概念

• Gradient（梯度）

  微积分中，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数的向量形式就是**梯度**，如函数`f(x,y)`, 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是`(∂f/∂x, ∂f/∂y)T`,即`grad f(x,y)`或者`▽f(x,y)`。对于在点`(x0,y0)`的具体梯度向量就是`(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T`.或者`▽f(x0,y0)`，如果是3个参数的向量梯度，就是`(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T`。
  
  从几何意义上讲，梯度越大函数变化增加越快。如函数`f(x,y)`,沿着梯度向量的方向就是`(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T`，通过梯度的变化可以找到函数的极值，沿着梯度向量的方向更容易找到函数的最大值，沿着梯度向量相反的方向`-(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T`，梯度减少最快，更容易找到函数的最小值。
  

• Learning rate（步长，学习效率）

  梯度下降算法中，步长决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度。
  

• feature(特征)

  样本中的输入部分，如样本 `{(x0, y0), (x1, y1)}`中的x0和x1
  

• hypothesis function(假设函数）

  监督学习中，预测得出的结果，记为hθ(x)。线性回归中对于样本`（xi,yi）(i=1,2,...n)`,可以采用拟合函数： `hθ(x) = θ0+θ1x`。
  

• loss function(损失函数)

  评估模型拟合好坏程度的函数。损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优参数。在线性回归中，损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。比如对于样本（xi,yi）(i=1,2,...n),采用线性回归，损失函数为：`J(θ0,θ1)=∑(i=1)(m)(hθ(xi)−yi)^2`（xi表示样本特征x的第i个元素，yi表示样本输出y的第i个元素，hθ(xi)为假设函数）。梯度下降就是为了求出这个损失函数的最小值。
  

梯度下降算法

以线性回归为例，

假设函数为hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn=θi(i = 0,1,2... n)为模型参数，xi(i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值, 令x0=1。

损失函数为

初始化参数（可以将步长初始化为1，其他参数初始化为0）后求J关于θi的偏导数得到梯度，用步长（随着梯度下降会减小）乘梯度得到下降的距离，重复直到下降的距离小于某一个阈值，此时的参数就是最优参数。

Batch Gradient Descent（批量梯度下降）

在更新参数时使用所有的样本来进行更新，使用BGD迭代次数较少，可以较容易地求得全局最优解，但是当样本数量很多时训练的时间会很长。

ꭤ为步长

收敛曲线

Stochastic Gradient Descent（随机梯度下降）

随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次,因此SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向，得到的也不一定是全局最优解。但是SGD训练速度较快，适合样本数量很多的情况。

收敛曲线

Mini-batch Gradient Descent（小批量梯度下降法）

MBGD在每次更新参数时使用b个样本, 综合了BGD和SGD的优点。

与其他无约束优化算法比较

和最小二乘法相比

梯度下降法需要选择步长，而最小二乘法不需要。梯度下降法是迭代求解，最小二乘法是计算解析解。如果样本量不算很大，且存在解析解，最小二乘法比起梯度下降法要有优势，计算速度很快。但是如果样本量很大，用最小二乘法由于需要求一个超级大的逆矩阵，这时就很难或者很慢才能求解解析解了，使用迭代的梯度下降法比较有优势。

和牛顿法/拟牛顿法相比

两者都是迭代求解，不过梯度下降法是梯度求解，而牛顿法/拟牛顿法是用二阶的海森矩阵的逆矩阵或伪逆矩阵求解。相对而言，使用牛顿法/拟牛顿法收敛更快。但是每次迭代的时间比梯度下降法长。

其他问题

• 怎么取ꭤ值？

  随时观察值，如果cost function变小了，则正常。否则则再取一个更小的值；如果Learning rate取值后发现J function 增长了，则需要减小Learning rate的值；