【回顾&小结】回溯法

回溯法の定义

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法。

以上来自百度百科。

回溯法の解空间

就是要找出这个问题所有的解，在这些解里面筛选出最优解。
举个例子，0-1背包的问题，假设我们有A，B，C三个物品，我们要判断选择装进哪些物品。从我们的背包里没有任何东西开始，我们按顺序一个个物品来判断是不是把它装进去。那么我们就可能出现两种想法：
想法一
对每一个物品判断是装还是不装，然后画出一个不规范的的图：

在这个图中，连线旁边的数字：1表示装入背包中，0表示不装入背包。第一层中，我们判断是否放入A，放入就是1那条岔路，反之是0那条岔路，所以很直观地，我们就可以得到所有可能出现的8个情况：

{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}

想法二
我们假设自己一开始要从三个里面选一个来装入，所以就有了：

（但是01背包问题并不适合用这种方法来解，所以这里就是与上面的树做一个对比）
如上图则表示，我们从A,B,C三个中先选择一个装入，如果第一轮选择了A，那么剩下就还有选择B或者C

而想法一的想法，其实就能形成一颗子集树，它在每次选择的时候，是在一个有限选择集合S里面进行选择，01背包中，这个S就是{0,1}，而想法二能形成一颗排列树，它在每次进行选择的时候是在给出的选项S中作选择，这里是{A,B,C}。
所以回溯法的写法，也有两种，子集树的写法和排列树的写法，做题的时候要自己选择更加合适的方法来解决。

回溯法の公式

每种算法都可以选择递归和迭代的方式来写，显然这里用迭代方式来写是很麻烦的，可以说也没有人选择这样的方法，所以我们都采用递归来写。

子集树写法
我们的目的就是要遍历子集树上的每个解法，为了判断每一个解对不对，所以我们应该是深度遍历，所以我们需要：t（树的深度）,数组x（每一层的结果选择）。先写出中心的遍历函数：

void backtrack(int t){
    if(t>=n){ 
           output();   //此时已到达叶子结点，用于输出一个结果
           return;
    }
    
    //对分叉点遍历0,1两种情况    
    for(int i=0;i<=1;i++){
        x[t]=i;  //给第t层代表的选择赋可能选择的值
        if(ok(t))  
            //ok是判断目前的一个解有可行的机会 
            backtrack(t+1);  
    }
        
}

此时我们应该注意，x数组的初始值应该都为0。

排列树写法
也和子集树一样要遍历子集树上的每个解法，我们同样需要：t（树的深度）,数组x（每一层的结果选择）。写出中心的遍历函数：

void backtrack(int t){
    if(t>=n){ 
           output();   //此时已到达叶子结点，用于输出一个结果
           return;
    }
    
    //从第t个单元开始进行交换排列  
    for(int i=t;i<n;i++){
        swap(x[t],x[i]);  //交换两个排列顺序，得到了一个解
        if(ok(t))  
            //ok是判断目前的一个解有可行的机会 
            backtrack(t+1);  
        swap(x[t],x[i]);  //恢复原样，给后面的好继续交换判断
    }
        
}

此时我们应该注意，因为排列树其实就是写出所有可能的排列，所以x数组里面每个单元的内容都应该是不一样的，我们在初始化的时候就应该依次赋予可能的解。
总结比较，在子集树的公式中，for循环中的i是可能的取值，排列树的公式中，for循环中的i是所有可能取值的存放位置。

举个栗子

n皇后问题，要求在一个n行n格的棋盘中摆放n个皇后，皇后不能在同一行，同一列或者同一斜线，我们要找出有多少个解法。这个问题，我们在选择x数组上，一个一维数组就足够用，下标表示在第几行，对应的值表示在第几列。
子集树方法：
假如n=4，初始化x数组中每个取值为0，那么我们的for循环中i可能有0,1,2,3四种选择，然后就是填写ok()函数，根据约束的条件可知，ok()函数里应该填写判断

皇后不能在同一行，同一列或者同一斜线

排列树方法：
假如n=4，初始化x数组中每个取值为0,1,2,3，ok函数也和子集树一样，我们的for循环中i也可能有0,1,2,3四种选择，因为是采用了交换，不出现两个重复的值，所以和子集树相比，走过的路要少一些。

效率の提高

为了提高算法的效率，我们可以从ok()函数来入手：

1. 计算简单
2. 剪枝多（避免走行不通的路）

但是这两个条件是互相矛盾的。

最后...

这是一个挣扎的小渣渣写的文章，所以可能会有错误，各位大佬多指教QAQ