插入排序分析

无聊突发想法，插入排序在平均意义上的效率如何，简单分析了下，这里做个记录。
插入排序比较简单，分析起来也相对容易，这里主要对平均意义上的交换次数做一下计算，先简单画一画插入排序过程。
加入初始序列是：

首先从4开始，插入4之前的以排序的序列中，由于4大于2，不用做交换

再跳到第三个元素1，将1插入之前的已排序序列，需要做两次交换

最后对末尾元素3进行插入排序，需要做一次交换

那么总交换次数是5次。

如果对长度为N的序列做概率假设，每种序列出现的概率是一样的，即均匀分布，那么每种序列出现的几率为1/N!，对N!种序列统计，假如对于第i种序列的交换次数是X_i，那么E[X]就是平均意义上的交换次数。

しかし很难将每一种序列的交换次数都算出来，所以要想其他办法来计算；根据假设，每个序列概率相等，那么等式可以转化为，Cn就是每个排列的交换次数的累计总和；

でも怎么算Cn，似乎可以考虑归纳法，首先假设n个互不相等的元素，累计交换次数是f(n),那么n+1个元素时，可考虑最后一个元素可为任意一个，最后一步时，前面n个元素已经是从小到大已排序状态，因此最后一个元素需要分别移动1,2,3...n次，以次数分类，每一类有n!种，则有：

当只有一个元素时，不用做任何交换，那么f(1)=0;以上公式是一个非线性差分方程，直接使用如下公式就可以算出来：

代入an和bn：

最后算出来：

简单验证下:
f(1)=0;
f(2)=1;
f(3)=9;....
实际上这些都是交换次数的准确值，最后计算平均意义上的交换次数就很简单了。

那么平均意义上，算法复杂度也可以是。