RSA加密算法中的数学

背景

RSA不对称加密算法可是算是世界上最重要的加密算法，其中包括我们熟悉的https的加密。为了完全弄明白他的实现原理，我们需要对数论这门学科，有一定的了解。现在我们分步来看，这个全球最重要的加密算法，都需要哪些数学知识。

第一步：获取两个不相等的质数，p=61和q=53

数学知识：质数

质数又称素数，在自然数中，除了1和自身外，不能被其他自然数整除。比如10以内的质数有：1，2，3，5，7。那么在程序中，我们如何判断一个数是不是质数呢？
方案一：

function isPrimeNum() {
    let n = 7
    for (let i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i === 0) {
            return false
        }
    }
    return true
}

这种方案是最直观的，也是效率最低的，因为要判断n是不是质数，我们需要运算n-2次
方案二：

...
    for (let i = 2; i < n / 2; i++)
...

我们把for循环中的n改成n/2，这样运算量上能减少一半(因为$ \frac n2 $后一半的数都可以通过$ \frac n2 $前一半的数$\times 2$得到，所以没必要参加运算）
方案三：

...
    for (let i = 2; i < Math.sqrt(n); i++)
...

我们把$ \frac n2 $改成 $ \sqrt n $之后，我们的运算量就不是减少一半了，而是减少一个数量级，数字越大，效果越明显。我们以1万为例，使用此方案只需要计算98次即可。

ts实现-有详细注释：是否为质数

第二步：把p和q相乘，得到n。其中n=61*53=3233，用二进制表示为：110010100001。

我们常说的RSA算法中的多少位，就是n用二进制表示后的位数，在我们例子就是12位。目前商用中一般都是2048位，比如我们的segmentfault

第三步：计算出小于n的自然数中，有多少数与n互质

数学知识1：互质

如果两个数的最大公约数为1，那么我们说这两个数互质，记：GCD(a,b)=1。其中GCD表示两个数的最大公约数。
我们来看几组互质的例子：13、14 | 7、9 | 4、7 | 6、35 | ...
我们可以得到如下结论：如果两个数是质数，那么这两个数肯定互质；两个数如果互质，那么这两个数不一定是质数。比如：6和35都不是质数，但是他们互质。

ts实现-有详细注释：取互质元素

数学知识2：欧拉函数

我们要计算10以内有多少与10互质呢，我们可以得到：1、3、7、9这4个数。如果是一个大数，我们用脑子想可能就想不出来了，所以我们需要使用欧拉函数来算出来，记作φ(n)。
欧拉函数分为几种情况：

• 情况1：如果n=1，那么与n互质的自然数只有1

$$ φ(n)=1 $$

• 情况2：如果n是质数，那么与n互质的自然数有n-1个，

$$ φ(n)=n-1 $$
$$ 例：φ(7)=6 $$

• 情况3：如果n可以因式分解为两个互质数的乘积，则

$$ φ(n)=φ(p)\times φ(q)=(p-1)\times (q-1)$$
$$ 例：φ(56)=φ(7)*φ(8) = 6 * 7 = 42 $$

• 情况4：如果n可以写成某个数的质数次幂(其中k为质数)，则

$$ φ(n)=φ(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac 1p) $$
$$ 例：φ(49)=φ(7^2)=7^2 - 7^1 = 42 $$

• 情况5：根据以上规律，总结出一个通用的公式：

$ \qquad n=p_1^{k^1} \times p_2^{k^2} \ldots p_r^{k^r} \quad 注：任意一个整数，都可以写成两个质数的乘积$
$ \qquad \Downarrow $
$ \qquad φ(n)=φ(p_1^{k^1}) \times φ(p_2^{k^2})\ldots φ(p_r^{k^r})$
$ \qquad \Downarrow $
$ \qquad φ(n)= p_1^{k^1}(1- \frac 1p_1) \times p_2^{k^2}(1- \frac 1p_2) \ldots p_r^{k^r}(1- \frac 1p_r)$
$ \qquad \Downarrow $
$ \qquad φ(n)=p_1^{k^1} \times p_2^{k^2}\ldots p_r^{k^r}\times (1- \frac 1p_1)\times(1- \frac 1p_2)\ldots(1- \frac 1p_n) $
$ \qquad \Downarrow $
$ \qquad φ(n)=n\times(1- \frac 1p_1)\times(1- \frac 1p_2)\ldots(1- \frac 1p_n) $

• 总结：通过欧拉函数最后的通式，我们发现最后的结果只和n和p有关，和p的幂无关，这点很重要，在我们用程序实现时，能够大大的简化我们的逻辑代码。

回到算法中，我们需要计算与n互质的个数，也就是求φ(n)，根据欧拉函数，计算过程如下：
$$ φ(n)=φ(3233)=φ(61) \times φ(53)=60\times52=3120 $$

ts实现-有详细注释：欧拉函数

第四步：在1和φ(n)之间，选取一个随机质数e，即在1~3120中选取e=17

第五步：求e和φ(n)的模反元素d

数学知识1：使用辗转相除法求最大公约数

我们先看两个例子，
例1：求47和30的最大公约数：
$ 47 = 30 \times 1 + 17 $
$ 30 = 17 \times 1 + 13 $
$ 17 = 13 \times 1 + 4 $
$ 13 = 4 \times 3 + 1 $
$ 4 = 1 \times 4 + 0 $

我们得到：GCD(47, 30) = 1

例2：求50和35的最大公约数：
$ 50 = 35 \times 1 + 15 $
$ 35 = 15 \times 2 + 5 $
$ 15 = 5 \times 3 + 0 $

我们得到：GCD(50, 35) = 5

聪明的你看完这两个例子可以知道如何计算了吧。通俗的讲，如果最后的多项式可以写成：a = bx + c。 当c=0时，b就是两数的最大公约数。

ts实现-有详细注释：求最大公约数

数学知识2：模反元素

定义：如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得a*b与n相除，余数为1，记作：$ (a \times b) \% n = 1 \Rightarrow \frac {(a \times b) - 1} n = 1 $

例：求3和11的模反元素
$$ \frac {(3 \times b) - 1} {11} = 1 $$

心算我们可以算出来其中一个值： $ b=4 $

数学知识3：裴蜀定理

• 通过上面的运算，我们可以算出一些简单数的模反元素，对于较大的数来说，我们需要引入新的计算工具：裴蜀定理，通过它，我们可以通过一个二元一次方程来得出模反元素
• 定义：如果a与b互质，即GCD(a, b) = 1，二元一次方程$ ax + by = 1 $有一对正整数解，其中x即为a、b的模反元素。同理，上面的例子我们可以化简成这样：3x + 11y = 1
• 疑惑：对于二元一次方程，好像不可解（也可以说有无穷多个解），我们之前都是解方程组。即然定理已经解决，两个互素（质）数组成的二元一次方程有一对整数解，那肯定是能解，解法我们需要引入另一个数学工具：扩展欧几里得算法

数学知识4：扩展欧几里得算法

这个算法其实就是上面我们求最大公约数时，用到的辗转相除法+它的逆运算，我们看个例子就明白是什么意思了

例1：求$ 47x + 30y = 1 $的解
解：使用辗转相除法，我们可以得到：
$ 47 = 30 \times 1 + 17 $
$ 30 = 17 \times 1 + 13 $
$ 17 = 13 \times 1 + 4 $
$ 13 = 4 \times 3 + 1 $
对最后一行，我们移项处理：
$ 1 = 13 - 4 \times 3 $
$ 4 = 17 - 13 \times 1 $
$ 13 = 30 - 17 \times 1 $
$ 17 = 47 - 30 \times 1 $
我们把第二行代入第一行中：
$ 1 = 13 - \overbrace{(17 - 13 \times 1)}^4 \times 3 $
$ \Downarrow $
$ 1 = 4 \times 13 - 3 \times 17 $
$ \Downarrow $
$ 1 = 4 \times \overbrace{(30 - 17)}^{13} - 3 \times s17 $
$ \Downarrow $
$ \ldots $
$ 1 = (-7) \times 47 + 11 \times 30 $

$ 解得：x=-7(即为我们要求的模反元素d) \quad y = 11 $

回到算法中，我们根据e=17和φ(n)=3120，得到一个二元一次方程：$ 17x + 3120y = 1 $，再根据扩展欧几里得算法，我们可以得到方程的解：$x = 2753 \quad 即：d = 2753$

ts实现-有详细注释：扩展欧几里德算法求方程的解

第六步：我们把n和e封装成公钥，n和d封装成私钥

• 公钥：$ (3233, 17) $
• 私钥：$ (3233, 2753) $

到此，我们的公私钥分配成功！

总结：RSA加密算法，虽说是一个程序问题，但终归还是一个数学问题！

查看所有函数的运行效果，点我点我！