三角形数目问题

一个数三角形的趣味问题，描述如下：一个大三角形，被划分为10层小三角形，求出现的所有三角形个数？
比如下图中，大三角形被划分为3层，任何出现的三角形都计算在内，总共有13个，可以看做9个一层的，加3个二层的，加一个三层的，一共13个；

=++

如果三角形被分为10层，显然一个一个地数不现实，其他办法就只有找规律了。看起来似乎很简单，一层一层地数就完了，但是当划分为四层以上的时候，就有其他问题出现，如图会出现很多倒三角，倒三角有大有小，统计起来太麻烦，那么有没有其他比较简单的办法？

如果把一个被划分为n层的三角形，看成是一个集合的话，并假定这个集合里面的三角形个数是f(n)，那么可以把这个划分为n层的三角形看做三个n-1层的三角形的并，于是联想到容斥原理：
$$F_{count}(X)=F_{count}(A\cup B\cup C)=F_{count}(A)+F_{count}(B)+F_{count}(C)-F_{count}(A\cap B)-F_{count}(B \cap C)-F_{count}(C \cap A)+F_{count}(A \cap B \cap C)$$

跟此模型类似，但是考虑到实际情况，最外层三角形没有包括在内，因此还需要额外加1；另外，当层数为偶数时，存在一个横跨三个n-1层几个的倒三角，不属于任何一个子集，那么可以写出递推公式了
$$f(n)=3f(n-1)-3f(n-2)+f(n-3)+{{1+(-1)^n}\over 2} + 1$$

到这里就可以用for循环，根据初始值f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;以O(n)效率计算出来了。
其实进一步，可以尝试解出公式，最后以O(1)效率解出结果。
递推公式为差分方程：
$$f(n)-3f(n-1)+3f(n-2)-f(n-3)={{1+(-1)^n}\over 2} + 1$$
为非齐次常系数线性差分方程，可尝试先解出齐次常系数线性差分方程：
$$f(n)-3f(n-1)+3f(n-2)-f(n-3)=0$$
特征方程为：
$$\lambda ^3 -3\lambda ^2+3\lambda -1=0$$
$$\lambda _{1} = \lambda _{2} = \lambda _{3} = 1$$
那么：
$$f_{1}(n)=1 $$
$$f_{2}(n)=n $$
$$f_{3}(n)=n^2 $$
通解为：
$$f_{c}=C_{1} + C_{2}n + C_{3}n^2$$
再解出特解：
$$f_{p}(n)={{n^3}\over 4} + {(-1)^n\over 16}$$
最后根据f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5三个初始值，解出$C_{1},C_{2},C_{3}$,最后的解是：
$$f(n)={n^3\over 4} + {5n^2\over 8} + {n\over 4} - {1\over 16} + {(-1)^n\over 16}$$
那么10层的时候，代入就可得f(10)=315