问题:现有现金a,并且有n种面额的零钱,问,共有多少种找零方式。
问题细化:现有现金1元,并且有50分,25分,10分,5分,1分五种面额,用这5种零钱组成1元,共有多少种方式?


如果把n种零钱按照某种顺序排列(如50分,25分,10分,5分,1分,不一定升序或降序,也可以乱序),那么问题可以转化为:
现金a用除第一种零钱之外其他面额的找零方式数目
加上
现金a-d用所有面额的找零方式数目,其中d为第一种零钱的面额

为什么?什么逻辑?有点晕,看不懂?没关系接着往下看。

上面的逻辑等同于
使用第一种零钱的次数为0次,现金a找零方式数目
加上
使用第一种零钱的次数为>=1次,现金a找零方式数目
如果减去1个第一种零钱,那么等价于"使用第一种零钱的次数为>=0次,现金a-d找零方式数目",亦即"现金a-d用所有面额的找零方式数目,其中d为第一种零钱的面额"


弄明白上面的逻辑,就看例子吧:以50分,25分,10分,5分,1分为序列,现金额度为1元,则找零方式总数
等于

1元完全不用50分 + 50分用50,25,10,5,1分//现在第一种零钱为50分

等于

1元完全不用50分 + (50分完全不用50分 + 0分用50,25,10,5,1分)//现在第一种零钱为50分

等于

1元用25,10,5,1分 + 50分用25,10,5,1分
//"完全不用50分"等价于"用25,10,5,1分",“0分用50,25,10,5,1分”是0

等于

(1元完全不用25分 + 75分用25,10,5,1分)// 现在硬币总数只有4种,第一种是25分
+
(50分完全不用25分 + 25分用25,10,5,1分)// 现在硬币总数只有4种,第一种是25分

等于

(1元完全不用25分 + (75分完全不用25分 + 50分用25,10,5,1分))// 现在硬币总数只有4种,第一种是25分
+
(50分完全不用25分 + (25分完全不用25分 + 0分用25,10,5,1分))// 现在硬币总数只有4种,第一种是25分

。。。。一直循环下去


代码实现(js)

const kindsOfCoins = [1, 5, 10, 25, 50];

/**
 * 如果amount正好为0
 * 现金amount,用kinds种硬币的找零方式总数,
 * 等于现金amount,用除了第一种硬币之外其他硬币的找零方式总数 + 现金amount - d用所有硬币的找零方式总数(d为第一种硬币的面值)
 * amount为0,说明前一步amount-firstCoins正好为0,比如25-25,是1种找零方式,return 1
 * amount<0,说明前一步amount-firstCoins类似于10-25,不是找零方式,return 0
 * kinds===0,说明没有找零的硬币了,return 0
 * 
 * @param amount 总金额
 * @param kinds  硬币种类数
 * @returns {*}
 */
function countChange(amount, kinds) {
    const restKindsOfCoins = kindsOfCoins.slice(0, kinds);
    const firstCoins = restKindsOfCoins[kinds - 1];
    if (amount === 0) return 1;
    if (amount < 0) return 0;
    if (kinds === 0) return 0;
    return countChange(amount, kinds - 1) + countChange(amount - firstCoins, kinds);
}

console.log(countChange(100, 5));// 292

注意,如果const kindsOfCoins = [1, 5, 10, 25, 50];改为const kindsOfCoins = [50, 10, 5, 1, 25];得出的结果是一样的,也就是说零钱的随便怎么排序都可以。


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