JS-Number—了解IEEE双精度浮点数

一、复习10进制转2进制

1）整数部分：除2取余，逆序
2）小数部分：乘2取整，正序
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二、了解IEEE 754双精度浮点数规范

1） 通过2进制的科学计数法存储。

和10进制的科学计数法类似，二进制的科学技术法格式为1.xxx*2^N。其中需要留意下二进制科学计数法的整数部分都是1，所以在存储时省略整数部分1。

2） 格式：符号位+指数位+尾数位

1. 符号位S：第 1 位是正负数符号位（sign），0代表正数，1代表负数
2. 指数位E：中间的 11 位存储指数（exponent），用来表示次方数
   科学计数法中指数E是可以为负数的，在表示负的指数时IEEE754标准引入了一个偏移量1023，在存储指数时加上该偏移量把负数E转成正数。这就导致11位的指数能够表示指数的范围是[-1023, 1024]。
3. 尾数位M：最后的 52 位是尾数（mantissa），超出的部分自动进一舍零，没有填满的部分自动补0
   如10进制数400.12，用10进制科学计数法表示为：4.0012*10^2,。其中"0012"就是尾数部分。

最终可表示为（图片来源）：

其中S，E，M都是实际存储科学计数法的值。
如10进制4.5转成2进制为：

// Step1 转成二进制
100.1
// Step2 转成二进制科学计数
1.001*2^2
S = 0
E = 2 + 1023 = 2015
M = 001 // 整数1被省略了

形象的查看存储情况，可参考这里

3） 有限集合

IEEE754能表示的实数数量是有限的，假设MAX_VALUE,MIN_VALUE分别表示其表示的最大正数和最小正数，那有限集合可表示为：

[-MAX_VALUE, -MIN_VALUE] U [MIN_VALUE, -MAX_VALUE]

几个有趣的问题

1） 0.1 + 0.2 ！== 0.3

0.1，0.2和0.3在转成二进制时都是无限循环的，在存储时会失去精度，0.1+0.2在运算时也会失去精度，导致结果不等于0.3。

2） 给一个数字加上一个非0的增量还等于本身这个数字

1 + Number.MIN_VALUE/2 === 1

这个增量如果小于JS能表示的最小浮点数就会视为0，加上这样的数等于加上0。

3） JS最大整数为啥是2^53-1而不是2^52-1

尾数占用52个bit,再加速省略的那个bit（见2.1）正好53个bit。

4）JS可以精确的表示哪些小数呢

小数部分是这种格式的都可以精确表示。

1/Math.pow(2, N), 其中N是(0, 1024)区间的整数。

如分数1/2,1/4, 1/8。

参考

1. 抓住数据的小尾巴 - JS浮点数陷阱及解法
2. 该死的IEEE-754浮点数，说「约」就「约」，你的底线呢？以JS的名义来好好查查你
3. IEEE 754 计算器
4. IEEE 754 二进制表示