树的重心

注：文章为博主原创，从git上的博客搬运而来，原地址

简介

树的重心也叫树的质心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。

背景

给树做分治的时候，为了得到最佳的划分，让这棵树更加平衡。

定义

定义一：

树的重心也叫树的质心。对于一棵树n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树时，最大子树的结点树最小。换句话说，删除这个点后最大连通块（一定是树）的结点数最小。

定义二：

以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半

含义

很多博客使用了上述两种定义，但只是说了定义，没有讲来历，今天这里就来分析一番。
上面给出了平衡这个词语，什么叫做平衡呢？
什么样的树就看起来更加平衡呢？
定义
$$k_i = n - 2P_i $$
$P$ 表示把这棵树（无根树）以 某节点(假设编号为i)转化为有根树的后，节点数最大的子树的节点数（下同）
$n$ 表示总节点数
$k$ 表示平衡度
变形为
$$ k_i = n - 2P_i $$
$$ k _ i = n - P_i - (n - O_i - 1) $$
$$ k_i = O_i - P_i + 1$$
$O$表示除了节点最多子树和 i 本身以外其他节点数的总和
$k$ 越大，这棵树可以被认为是更加平衡
那么给出定义：

$k$ 不小于0的时候，该点就是树的重心

对于定义二,这是显然的，因为$2P \leq n$,所以$ k = n - 2P \geq 0 $

对于定义一,它就显得不那么好证明了，
所以这里也给出证明：
充分性：
假设以这个点 $i$ 为根，转化为有根树，则会得到：

$P$,$O$的含义同上。
由定义一这里的$P$一定是对于所有其他节点而言的$P$最小的。
考虑最大子树的根 maxv ，假设去掉maxv
则会得到：

考虑这个此时对于$maxv$来说的$P$
有：
情况1：新的 $P'$是原子树$maxv$中的子树。
情况2：新的 $P'$是 $O+1$

对于情况1：如果新的$P'$是原子树中的子树，设这个子树的节点数为$P_m$，则有$$P_m = P-1$$，而定义一满足的条件是$P$小于其他任意一个的$P'$，这明显不满足条件。

对于情况2：新的$P'$是$O+1$,
$ P' \geq P $
$ O + 1 \geq P$
$ O - P + 1 \geq 0$
$ k \geq 0$
得证。

必要性：
$k \geq 0$
$O + 1 \geq P$
考虑当前节点$i$ 的 最大子树节点树$P$
考虑最大节点子树$P$的节点，从该节点往下，每一个节点的子孙节点都有大于等于以 $i$为子树的$O+1$个节点，这个节点的$P'$大于等于$P$。

考虑节点$i$非最大子树的节点，这些节点都至少有以$i$为根的$P+1$个节点，这些节点的$P'$值一定大于$P$

综上所述，对于$i$,它的最大子树是所有节点中最小的
得证。
所以说，其实本质上而言，两种定义都是对平衡度的限制，

求法：

树形DP,dfs一次即可，保存每个节点的子树节点数，计算出后计算最大子树$P$和$O$，取所有点中最小的即可.
代码(POJ 1655):

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define emax(a,b) ((a) < (b) ? (b) : (a))
using namespace std;
const int MAXN = 20005;
const int MAXE = 40005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct edge{
    int v,next;
};
edge e[MAXE];
int head[MAXN],subTree[MAXN],dp[MAXN];
int T,k,n,maxw,maxu;
char inc;

inline void adde(int u,int v){
    e[k].v = v;
    e[k].next = head[u];
    head[u] = k++;
}

inline void read(int & x){
    x = 0;
    inc = getchar();
    while(inc < '0' || inc > '9'){
        inc = getchar();
    }
    while(inc >= '0' && inc <= '9'){
        x = (x << 3) + (x << 1) + (inc ^ 48);
        inc = getchar();
    }
}

void dfs(int u,int fa){
    subTree[u] = 1;
    for(int i = head[u];~i;i = e[i].next){
        int v = e[i].v;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,u);
        subTree[u] += subTree[v];
        dp[u] = emax(dp[u],subTree[v]); 
    }
    dp[u] = emax(dp[u],n - subTree[u]);
}

int main(){
    read(T);
    while(T--){
        read(n);
        memset(head,-1,sizeof(head));
        k = 1;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            int u,v;
            read(u);read(v);
            adde(u,v);
            adde(v,u);
        }
        dfs(1,0);
        maxw = INF;
        maxu = -1;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            if(dp[i] < maxw){
                maxu = i;
                maxw = dp[i];
            }
        }
        printf("%d %d\n",maxu,maxw);
    }
    return 0;
}

性质

1.定义距离和值为
$$S_j = \sum D_{i,j}$$
其中$D_{i,j}$表示$i$到$j$的距离
那么对于重心，它的 $S_j$ 值最小。如果有两个重心，他们的 $S_j$ 值相同
2.把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。
3.把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。
4.以u为根的一颗树，如果有某儿子：该儿子的子树节点个数和的二倍>以u为根的树的节点的个数，那么重心在以v为根的子树之中。

四个性质都很好证明(画个图就能看出)，这里不加赘述

注：对于性质1，参考算法导论中对中位数的绝对值和最小的证明

性质的运用

参见Codeforeces 686D
题目大意是让你求出这棵树所有子树的重心。
根据性质2，只需要从$maxv$为根的重心不断向上，直到找到重心为止：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 300005;
const int MAXE = 600005;

struct edge{
    int v,next;
};

edge e[MAXE];
char inc;
int subTree[MAXN],ans[MAXN],fa[MAXN],head[MAXN];
int k,n,q;

inline void adde(int u,int v){
    e[k].v = v;
    e[k].next = head[u];
    head[u] = k++;
}



inline void read(int & x){
    x = 0;
    inc = getchar();
    while(inc < '0' || inc > '9'){
        inc = getchar();
    }
    while(inc >= '0' && inc <= '9'){
        x = (x << 3) + (x << 1) + (inc ^ 48);
        inc = getchar();
    }
}

void dfs(int u){
    subTree[u] = 1;
    ans[u] = u;
    int maxSubTree = -1;
    int maxSubTreev = -1;
    for(int i = head[u];~i;i = e[i].next){
        int v = e[i].v;
        dfs(v);
        if(maxSubTree < subTree[v] ){
            maxSubTree = subTree[v];
            maxSubTreev = v;
        }
        subTree[u] += subTree[v];
    }
    if(maxSubTree * 2 <= subTree[u]) return;
    int c = ans[maxSubTreev];
    while(subTree[u] > subTree[c] * 2){
        c = fa[c];
    }
    ans[u] = c;
}


int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    read(n);read(q);
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        int v;
        read(v);
        //adde(i,v);
        adde(v,i);
        fa[i] = v;
    }
    dfs(1);
    for(int i = 1;i <= q;i++){
        int qu;
        read(qu);
        printf("%d\n",ans[qu]);
    }
    return 0;
};