十进制小数转换成二进制的原理理解

十进制小数转换成二进制的原理理解

在学习浮点数据类型的时候，涉及到了10进制的小数如何转成2进制数的问题（此文章不讨论精度问题，仅涉及转换原理--乘2取整).学习到的方法是“乘2取整“，但是一直不知道具体原理是什么，现在从数学上说明一下原理

乘2取整的操作方法

将十进制的小数部分乘2，将所得结果的整数位作为二进制的位。舍弃乘2所得结果的整数部分，如果剩余部分为0，计算结束。否则继续乘2，进行取整操作（所得整数位继续向右添加）。(如果出现循环，则终止计算，写成循环小数格式,或根据精度位数要求，保留结果位数，停止计算)

举例说明:


十进制数:0.25

1. 0.25 x 2 = 0.5 二进制数 : 0.0

2. 0.5 x 2 = 1.0 二进制数 : 0.01

结果二进制数: 0.01

原理解释

十进制数的小数部分 M 对应二进制部分应为 A1 * 2^(-1) + A2 * 2^(-2) + ... + An * 2^(-n) 其中An 为 0 或 1

现在将 M 乘 2 ：M * 2 = A1 * 2^0 + A2 * 2^-1 + ... + An * 2^(1-n)

此时，A1 * 2^0 = A1 即为 M * 2的整数部分的值 求出了A1.

然后舍弃M * 2 的整数部分，即舍弃了 A1. M * 2 - A1 = A2 * 2^-1 + ... + An * 2^(1-n)

最后不断重复这一计算方式，直到乘2所得的结果小数部分为0（或者达到要求精度的位数）为止，二进制小数即为: 0.A1A2..Am (为0时m=n,否则根据精度要求决定m大小)