机器学习从入门到XX（一）：线性回归与梯度下降

介绍

什么是机器学习？

有两种定义。Arthur Samuel如此描述机器学习：一个领域的研究，旨在研究，在不进行编程的情况下，让计算机具有学习能力。

Tom Mitchell给出了一个更为现代的定义：一个计算机程序从经验E以及评判标准P中学习如何完成任务T，随着E的累积，P得到提升。

例如，下棋游戏中：

• E：在很多盘棋局中的经验
• T：下棋任务
• P：程序赢得下一盘棋的可能性

总体来说，任何机器学习问题可以分为监督学习(supervised learning)和无监督学习(unsupervised learning)

监督学习

在监督学习中，给定一个数据集，并且我们已经知道输出看起来是什么样子的，知道数据和输出之间是存在联系的。

监督学习可分为“回归(regression)”和“分类(classification)”两种类型的问题。在回归问题中，我们试图预测连续的结果，换句话说，我们试图将输入变量映射到某种连续函数。在分类问题中，却试图预测离散结果，换句话说，我们试图将输入变量映射进离散的类别中。

例子1：

给定一组关于房子大小的数据，预估出价格。从大小推算价格的函数的输出是连续的，所以这是个回归问题。

如果换一种问法：“预估房价与指定价格的大小关系”。这个问题就转化为分类问题了，因为我们试图将房价分为两种离散的类别中（大于或小于）。

例子2：

a) 回归：给定一张男性或女性的照片，推算年龄。
b) 分类：给定一张男性或女性的照片，估计他/她是高中生还是大学生。另一个分类的例子：银行需要根据跟人信用历史，判断是否要给其贷款。

无监督学习

无监督学习是指在几乎对结果一无所知的情况下，趋近结果。在对输入数据的变量缺少必要的认识的情况下，从中获取一些结构。通过将数据中变量的关联，将数据进行聚类，从而获取这些结构。无监督学习对于预测结果是没有反馈的。

例如：

聚类：从1,000,000个不同的基因中，找到某种方式，能够自动将具有某种相似性或关联的基因进行分组，这些变量可能是寿命，位置，功能等。

非聚类：“鸡尾酒算法”，能否从嘈杂环境中识别不同的声音。（例如，在鸡尾酒会上，从混合的声音中区分人声或音乐声）

模型和代价函数

模型表示

这里以监督学习中的房子大小预测房价问题为例。使用$ x^{(i)} $指代输入变量（这里是房屋面积），$ y^{(i)} $指代输出或者我们需要预测的结果（这里是房屋价格）。元组($ x^{(i)}, y^{(i)} $)是训练用例数据集，m个训练用例$ (x^{(i)},y^{(i)});i=1,...,m $称为训练数据集。注意，上标(i)，并没有幂运算的功能。我们也会使用X，表征输入数据集，Y表征输出数据集。

稍微正规的解释一下监督学习是什么。监督学习的目标是，给定一个训练数据集，尝试学习一个函数h: X → Y，使得h(x)成为好的预测y的函数。由于历史原因，这个h函数称为假设函数(hypothesis)，下图说明了这个流程：

如果我们要预测的目标值是一个连续值时，例如房价预测问题，我们称这种机器学习问题为回归(regression)问题；如果y值只在少数的离散值中取值（例如，假设给定面积，预测这是个house还是apartment），我们称为分类(classification)问题。

代价函数

我们可以使用代价函数(cost function)来衡量假设函数(hypothesis function)的精准性。代价函数实际上计算的就是每一个经由假设函数计算而来的y，与实际的y的差值的平均值。当这个差值最小时，假设函数最优。

如果hypothesis function如下：

$$ h(x)=θ_0+θ_1x $$

这是一个线性函数，对于房价预测问题，我们的最终目的是通过算法，得到一组最优的$ (θ_0,θ_1) $使得对所有的训练集合X(房屋面积)，通过h(x)计算得到的Y(房屋价格)与实际的Y偏差最小，即拟合度最高。为了衡量h(x)的拟合度，使用代价函数$ J(θ_0,θ_1) $如下：

$$ J(θ_0,θ_1) = {1 \over 2m} {\sum_{i=1}^m(h_θ(x_i)-y_i)^2} $$

通过观察，不难发现，该公式实际计算的是，y的方差的均值。并且这个均值越小，说明拟合度越高。所以算法推导$ (θ_0,θ_1) $的过程，就是求$ J(θ_0,θ_1) $最小值的过程。

直观的看，我们可以把训练数据集看成散落在一个x-y的二维坐标系中的点，试图找到一条直线（由$ h_θ(x) $定义），穿过这些点。最终的目的是，找到一条这样的一条直线，使得这些点离这条直线的垂直距离最近。理想状态下，这条直线能够穿过所有的点，这时$ J(θ_0,θ_1) $为0。

这个代价函数也称为平法误差代价函数(Squared error function)或均方误差(Mean squared error)。将均方除以2，是为了梯度下降算法的计算。下图总结了代价函数：

为了更直观的观察代价函数，我们假设，需要预测的变量只有一个$ θ_1 $，那么h(x)如下：

$$ h(x)=θ_1x $$

这将是一条经过原点的直线。那么容易想到，随着斜率$ θ_1 $的变化，$ J(θ_1) $将呈现出一个如下类似抛物线的造型：

总能找到一个$ θ_1 $使得$ J(θ_1) $最小。

如果有两个变量$ J(θ_0,θ_1) $：

$$ h(x)=θ_0+θ_1x $$

那么$ J(θ_0,θ_1) $将同时受到两个变量的影响，这将是一个三维的图形：

因此，我们总能找到一组$ (θ_0,θ_1) $，使得$ J(θ_0,θ_1) $最小。用三维图观察并不直观，现在我们引入一种叫contour plot的图。观察上面的三维图，我们用一个平行于底面的平面穿过曲面，与曲面相交，形成一个类似椭圆的闭环，随着这个平面高度的变化，将产生无数的类似椭圆的闭环，如果将这些椭圆闭环投影到底面，将形成一个类似靶环的图形，就跟下图的右图一样，这称为contour plot：

在同一个环上的点，对应不同的$ (θ_0,θ_1) $取值，但是他们的$ J(θ_0,θ_1) $是相同的。而靶环的中心点，就是能够使得$ J(θ_0,θ_1) $最小的$ (θ_0,θ_1) $取值：

梯度下降

现在我们有了hypothesis function和用于衡量hypothesis function中参数$ (θ_0,θ_1) $取值拟合度的cost function。现在将介绍第一个算法，称为Gradient Descent(梯度下降)。算法的目的是找到一组变量$ (θ_0,θ_1) $，使得他们的代价函数$ J(θ_0,θ_1) $最小。我们把代价函数假想成如下的三维图，好似有一座座的山头，如果我们从某个山头的某处出发，往下走，走到最低点，每一步往哪个方向取决于当前往哪个方向走最优，我们可能会走到A点。如果换一个点出发，我们可能走到B点：

在决定下一步往哪里走的时候，我们采取的方式是，找到当前这个点的切线方向（切线即导数），切线方向告诉我们应该往哪个方向走；另一个影响因素是，每一步大小α，这个参数我们称为learning rate学习速率。单次梯度下降迭代得到的往往是局部最优解，即上图的A,B两点是对于不同的起始点来说的最优解。

梯度下降算法描述如下：

重复如下步骤，直到收敛：

$$ θ_j := θ_j - α{∂ \over ∂θ_j}J(θ_0,θ_1), j=0,1 $$

上述公式中的:=表示赋值，而不是数学意义上的判等。上式的迭代过程就是，从初始的$ (θ_0,θ_1) $开始，对于每组$ (θ_0,θ_1) $计算$ J(θ_0,θ_1) $的导数，然后得到新的$ (θ_0,θ_1) $，重复计算，直到$ (θ_0,θ_1) $不再变化，即收敛。

为了更直观的展示算法，我们任然假设h(x)只有一个参数$ θ_1 $：

$$ h(x)=θ_1x $$

那么此时的算法可以描述为，重复如下过程直到收敛：

$$ θ_1 := θ_1 - α{∂ \over ∂θ_j}J(θ_1) $$

由于$ J(θ_1) $是关于$ θ_1 $的二次函数，所以$ ∂ \over ∂θ_j $ 表示$ θ_1 $所在点的切线斜率。从下图可以看出，当$ θ_1 $在上升沿时，斜率为正数，这会使得$ θ_1 $在迭代过程中逐渐减小；当$ θ_1 $在下降沿时，斜率为负数，这会使得$ θ_1 $在迭代过程中逐渐减增大，总之都是趋近于最低点的$ θ_1 $。

所以可以看到，算法巧妙的使用导数，让迭代过程自动趋向于正确的方向。

在算法中，$ α $是一个可调参数，当$ α $太小时，每次迭代，$ θ_1 $的变化很小，这样会算法的效率；而当$ α $太大时，每次迭代，$ θ_1 $的变化很大，这有可能会产生震荡，甚至无法收敛：

理想情况下，$ ∂ \over ∂θ_j $会在最低点，使得斜率为0，此时：

$$ θ_1 := θ_1 − α ∗ 0 $$

这样得到的新的$ θ_1 $不变，这就是收敛。

再考虑有两个变量$ (θ_0,θ_1) $的情况：

$$ h(x)=θ_0+θ_1x $$

前面我们将原本三维的代价函数，绘制成了contour plot，不难想象，在梯度下降算法的迭代过程中，$ (θ_0,θ_1) $总是从远离靶心的位置开始，向靠近靶心的位置移动，最终收敛在靶心：

有了直观的认知后，我们给出Gradient Descent(梯度下降)的推导式，这样能够方便计算机进行计算：

重复如下过程，直到收敛：

$$ θ_0 := θ_0 - α{1 \over m} {\sum_{i=1}^m(h_θ(x_i)-y_i)} $$

$$ θ_1 := θ_1 - α{1 \over m} {\sum_{i=1}^m((h_θ(x_i)-y_i)x_i)} $$

具体的推导过程省略。