[Java] 关于一道面试题的思考

文中的速度测试部分，时间是通过简单的 System.currentTimeMillis() 计算得到的，
又由于 Java 的特性，每次测试的结果都不一定相同，
对于低数量级的情况有 ± 20 的浮动，对于高数量级的情况有的能有 ± 1000 的浮动。

这道题本质上是个约瑟夫环问题，最佳解法在最下面，本文只是探究一下数组暴力和链表的表现差异。

题目

N 个人围成一圈，顺序排号。从第一个人开始报数（从1数到3），凡是到3的人退出圈子，问最后留下的是原来第几号。

样例

• 2 个人时留下的是第二个；
• 3个人时留下的是第二个；
• 5个人时留下的是第四个；
• 12个人时留下的是第十个；
• 100，000个人时留下的是第92620个人。

机器环境

CPU Intel Xeon E3-1231 v3 @ 3.40GHz

RAM 16 GB

暴力解决

虽然第一反应是用链表，但对于人数在1000以下的量级感觉数组也足以胜任，因此先用数组试试。

对于这种会 退出 的情况，数组显然不能像链表一样直接断开，因此采用标记法：

先生成一个长度为 N 的布尔型数组，用 true 填充。

报号时，对于报到 3 的位置，用 false 来标记该位置，下次循环如果遇到 false 则可以直接跳过。

那么等到数组内只剩一个 true 的时候，找到其位置，即是最后留下来的人的位置。

既然暴力，那干脆彻底一点：

    public static int findIndex(final int N) {
        boolean[] map = new boolean[N];
        Arrays.fill(map, true);
        int walk = 1;
         // 因为是站成一个圆，所以在遍历到最后时需要将下标重新指向 0
           // count(map) 就是遍历整个数组计算还剩余的 true 的数量
        for (int index = 0; count(map) > 1; index = (index == N - 1) ? 0 : (index + 1)) {
            // 对于 false 可以直接跳过，因为它们相当于不存在
               if (! map[index]) continue;
             // 报号时如果不是3 则继续找下一位;
            if (walk++ != 3) continue;
             // 如果是 3，则重置报号，并将当前位置的值改为 false
            walk = 1;
            map[index] = false;
        }
        return find(map);
    }
    
    // 因为是 count(map) == 1 的情况下才会调用这个方法，所以直接返回第一个 true 所在的位置即可
    public static int find(boolean[] map) {
        for (int i = 0; i < map.length; i++) {
            if (!map[i]) continue;
            return i + 1;
        }
        return -1;
    }

    public static int count(boolean[] map) {
        int count = 0;
        for (boolean bool : map) {
            count += bool ? 1 : 0;
        }
        return count;
    }；

对于这个解法，可以跑一下测试看看耗时：

N	time / ms
100	1
1,000	13
10,000	686
100,000	80554

很显然，这种暴力的做法对于大一点的数量级就很吃力了，但是我又不想那么快就用链表，有没有哪里是可以优化的呢。

消除循环

其实在前面的解法中，耗时操作有这么几个：

• findIndex 中不停得对整个 map 进行遍历，即便对于 false 直接跳过，但杯水车薪。
• count 中对整个 map 进行遍历才能得到此时数组中 true 的数量。
• find 中同样需要对整个 map 进行遍历才能得到剩下的一个 true 的下标。

其中第一点应该是这种解法的本质，没什么好办法，那么看看后两点。

消除 count

这个方法想做的事就是每次循环时检查此时数组中 true 的数量是不是只剩一个了，因为这是循环的终结条件。

那么我们可以引入一个计数器：

    private static int findIndex(final int N) {
        boolean[] map = new boolean[N];
        Arrays.fill(map, true);
        int walk = 1;
         int countDown = N;
        for (int index = 0; countDown > 1; index = (index == N - 1) ? 0 : (index + 1)) {
            if (! map[index]) continue;
            if (walk++ != 3) continue;
            walk = 1;
            map[index] = false;
               countDown -= 1;
        }
        return find(map);
    }

改成这种做法后，猜猜对于 100,000 这个数量级，这个暴力算法需要用时多久呢？

答案是 11 ms 。

对于 100,000,000 这个数量级，这个暴力算法仍只需要 3165 ms。

稍稍透露一下，后边的链表解法在这个数量级的成绩是 7738 ms，当然可能是我太垃圾了，发挥不出链表的威力 Orz）

消除 find

这个方法要做的是从整个数组中找到唯一的 true 的下标，这同样可以用一个外部变量来消除循环：

    private static int findIndex(final int N) {
        boolean[] map = new boolean[N];
        Arrays.fill(map, true);
        int walk = 1;
         // 记录现在访问到值为 true 的下标
        int current = 0;
        int countDown = N;
        for (int index = 0; countDown > 1; index = (index == N - 1) ? 0 : (index + 1)) {
            if (! map[index]) continue;
            if (walk++ != 3) {
                   // 记录最后一次遇到 true 的位置
                current = index;
                continue;
            }
            walk = 1;
            map[index] = false;
            countDown -= 1;
        }
         // 人的位置是从 1 开始数的，所以这里要加 1
        return current + 1;
    }

但是这个改动对速度的提升效果很小，对于 100,000,000 这个数量级，速度仍然在 3158 ~ 3191 ms 左右。

不暴力了，用链表吧

使用链表可以很方便得体现 退出 这个概念，链表的长度会随着算法的进行而越来越短直至剩下最后一个元素。因为没有 跳过标记为 false 的步骤，理论上会比暴力数组解法要快。

    static class Node {
           // 当前节点的下标，即人的位置
        int index;
           // 上一个节点
        Node prev;
         // 下一个节点
        Node next;

        public Node (int index) {
            this.index = index;
        }

        public Node append(Node next) {
            this.next = next;
            next.prev = this;
            return next;
        }

         // 需要报号为3的人（当前元素）退出时，从链表中断开并将两边拼接起来
        public Node jump() {
            Node newNode = this.next;
            newNode.prev = this.prev;
            newNode.prev.next = newNode;
            this.prev = null;
            this.next = null;
            return newNode;
        }

        public static int findIndex(final int N) {
            Node root = new Node(1);
               // 初始化链表并赋值，这个过程对于很大的数量级而言速度肯定是慢过对数组的赋值的，
             // 毕竟类的实例化需要开销。因此这段初始化不计入时间
            Node current = root;
            for (int i = 2; i <= N; i++) {
                current = current.append(new Node(i));
            }
            // 将首尾相连构成循环列表
            current = current.append(root);
          
            long mills = System.currentTimeMillis();
          
            int COUNTER = N;
            int walk = 1;
            while (COUNTER > 1) {
                if (walk++ != 3) {
                    current = current.next;
                } else {
                    current = current.jump();
                    walk = 1;
                    COUNTER -= 1;
                }
            }

            System.out.println(System.currentTimeMillis() - mills);
            return current.index;

        }
    }

看看两种解法的速度对比

N	数组暴力法 / ms	数组暴力法（改进） / ms	链表法 / ms
100	2	0	0
1,000	15	1	0
10,000	673	5	1
100,000	79998	10	3
1,000,000	N/A	38	64
10,000,000	N/A	309	718
100,000,000	N/A	3151	7738

​ 对于 1,000,000 及以上的数量级就没测原数组暴力法了，太慢了...

总结

可以看到，在百万级别，改进的数组暴力法已经要比链表法快一半了，在亿级要快的更多。

当然这个速度差异很大程度上是因为随着数量级的加大，链表法所需要的内存开销已经超出一个合理的范围了，随之而来的就是链表的断开重组操作要比 标记 重太多了。

但是这只是 想知道最后一个人的位置 的情况，数组的下标可以做到一定程度的契合，如果情况更复杂了，显然数组就不够用了。

对于链表法在超大数量级的解法，感觉可以用多线程来做一次整体循环内的截断，只是这样复杂度就上去了，暂时不做了，有兴趣的读者可以自行尝试一下。

算法的力量

    public static int josephus(int n) {
        int res = 0;
        if (n == 0) return 0;
        if (n < 3) {
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                res = (res + 3) % i;
            }
        } else {
            res = josephus(n - n / 3);
            if (res < (n % 3)) {
                res = res - (n % 3) + n;
            } else {
                res = res - (n % 3) + (res - (n % 3)) / 2;
            }
        }
        return res;
    }

    public static void main(String ...args) {
        System.out.println(hosephus(1000000000));
    }

这个解法对于一亿这个数量级的运算时间是不到 0 ms，来自我的 ACMer 同学 ( 打不过正规军啊，跪了

据我同学所说:

递归层数 log 级别，n 可以达到 1e18 级别，15 ms 内给出答案。