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第一章 随机事件与概率

1.1 随机事件及其运算

一 随机事件的几个相关概念

1 随机现象:在一定的条件下,并不总是出现相同结果的现象。如:抛一枚硬币与掷一颗骰子。

随机现象的特点:

  • 结果不止一个,只有一个结果的现象称为确定性现象。如:每天早上太阳从东方升起;
  • 出现哪一个结果,预先不知道。

例1 随机现象的例子:

  1. 抛一枚硬币,有可能正面朝上,也有可能反面朝上;
  2. 掷一颗骰子,出现的点数;
  3. 一天内进入某超市的顾客数;
  4. 某种型号电视机的寿命;
  5. 测量某物理量(长度,直径等)的误差。

2 随机试验:在相同条件下可以重复的随机现象。注意,也有很多随机现象是不能重复的。如:某些经济现象。

3 样本空间:随机现象的一切可能基本结果(样本点)组成的集合称为样本空间。

例2 以下是例1的样本空间:

  1. 抛一枚硬币的样本空间为: $\Omega_1=\{\omega_1,\omega_2\}$ ,其中$\omega_1$表示正面朝上,$\omega_2$表示反面朝上;
  2. 掷一颗骰子的样本空间为: $\Omega_2=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_6\}$,其中$\omega_i$表示出现$i$的点数,也可以记为: $\Omega_2=\{1,2,\cdots,6\}$;
  3. 一天内进入某超市的顾客数的样本空间为:$\Omega_3=\{0,1,2,\cdots,500,\cdots\}$;
  4. 电视机寿命的样本空间为:$\Omega_4=\{t,t \geq 0\}$;
  5. 测量误差的样本空间为:$\Omega_5=\{x,- \infty \leq x \leq +\infty\}$。

注意:

  1. 样本空间中的元素可以是数,也可以不是数,如$\Omega_1$;
  2. 样本空间至少有两个样本点,仅含有两个样本点的样本空间是最简单的样本空间,如$\Omega_1$;
  3. 从样本空间含有样本点的个数来区分,样本空间可分为有限和无限样本空间两类。如$\Omega_1$和$\Omega_2$为有限样本空间,而$\Omega_3$,$\Omega_4$和$\Omega_5$为无限样本空间。其中$\Omega_3$中样本点的个数为可列个,而$\Omega_4$和$\Omega_5$中的元素为不可列无限个。我们称样本点的个数为有限个可列个的样本空间为离散样本空间,而将样本点的个数为不可列无限个的样本空间为连续样本空间

4 随机事件:随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,简称事件。常用大写字母$A,B,C,\cdots$表示。如在掷一颗骰子中,$A=$“出现奇数”是一个事件,即$A=\{1,3,5\}$。

注意:

  • 任一事件$A$是相应样本空间的一个子集。概率论中常用一个长方形表示样本空间$\Omega$,用其中一个圆或其他几何图形表示事件$A$。见图1.1,这类图形称为维恩(Venn)图;
    图1.1 事件$A$的维恩图

图1.1 事件$A$的维恩图

  • 当子集$A$中某个样本点出现了,就说事件$A$发生了,或者说事件$A$发生当且仅当$A$中某个样本点出现了;
  • 事件可以用集合表示,也可以用明白无误的语言描述;
  • 由样本空间$\Omega$中的单个元素组成的子集称为基本事件,而样本空间$\Omega$的最大子集(即$\Omega$本身)称为必然事件。样本空间$\Omega$的最小子集(即空集$\emptyset$)称为不可能事件

例3 掷一颗骰子的样本空间为:$\Omega=\{1,2,\cdots,6\}$:

  • 事件$A$ = “出现1点”,它由$\Omega$的三个样本点“1”组成;
  • 事件$B$ = “出现偶数”,它由$\Omega$的单个样本点“2,4,6”组成;
  • 事件$C$ = “出现的点数小于7”,它由$\Omega$的全部样本点“1,2,3,4,5,6”组成;
  • 事件$D$ = “出现的点数大于6”,$\Omega$中任一样本点都不在$D$中,所以$D$是空集,即不可能事件$\emptyset$。

5 随机变量:用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母$X,Y,Z$表示,很多事件都可用随机变量表示,表示时应写明随机变量的含义。

例4 掷一颗骰子,出现的点数是一个随机变量,记为$X$,则事件“出现3点”可用“$X$=3”表示,事件“出现的点数不小于3”可用“$X\ge3$”表示,又如“$X\lt3$”表示事件“出现点数小于3”。

6 事件间的关系

  • 包含关系:如果属于$A$的样本点必属于$B$,则称$A$被包含在$B$中,或称$B$包含$A$,记为$A\subset B$,或$B\supset A$;
  • 相等关系:如果事件$A$与$B$满足:属于$A$的样本点必属于$B$,而且属于$B$的样本点必属于$A$,即$A\subset B$且$B\supset A$,则称事件$A$与$B$相等,记为$A=B$;
  • 互不相容:如果$A$与$B$没有相同的样本点,则称$A$与$B$互不相容,即$A$与$B$互不相容意味着事件$A$与$B$不可能同时发生。

二 事件运算

  • 并:“事件$A$与$B$至少有一个发生”称为事件$A$与$B$的并;
  • 交:“事件$A$与$B$同时发生”称为事件$A$与$B$的交。若事件$A$与$B$为互不相容,则其交必不可能事件,即$AB=\emptyset$,反之亦然,即$AB=\emptyset$意味着$A$与$B$是互不相容事件;
  • 差:“由事件$A$中而不在事件$B$中的样本点组成的新事件”记为“$A-B$”,即“事件$A$发生而事件$B$不发生”;
  • 对立事件:“由在$\Omega$中而不在$A$中的样本点组成的新事件”称为对立事件,记为$\overline A$。$A$与$B$互为对立事件的充要条件是:$A\cap B=\emptyset$且$A\cup B=\Omega$;
  • 事件的运算性质:
  1. 交换律:$A\cup B = B\cup A$,$A\cap B = B\cap A$ 即$AB=BA$;
  2. 结合律:$(A\cup B) \cup C= A\cup (B \cup C)$ 及 $(AB)C=A(BC)$
  3. 分配律:$(A\cup B) \cap C= AC\cup BC$ 及 $(A\cap B) \cup C= (A\cup C)\cap(B\cup C) $
  4. 对偶律(德摩根公式):$\overline {A\cup B}=\overline A\cap \overline B$及$\overline {A\cap B}=\overline A\cup \overline B$

该公式可推广到多个事件及可列个事件场合:
$$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n \overline A_i \quad 及\quad \overline{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} \overline A_i $$
$$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n \overline A_i \quad 及\quad \overline{\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \overline A_i $$
其中$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n \overline A_i$和$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n \overline A_i$可用数学归纳法证明。


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