机器学习从入门到XX（五）：神经网络模型

神经网络

神经网络(Neural Network)是一种十分强大的机器学习算法。神经网络的模型类似脑细胞传递神经信号的方式。下面是单个脑细胞的示意图：

一个脑细胞通过多个树突接收某种电信号，然后通过轴突将信号传递给下一个脑细胞。大量的脑细胞彼此相连就会形成一个极其庞大的网络。神经网络算法正是模拟了脑细胞传播电信号的过程。

下面是通过课程作业，实现的一个手写体数字识别的机器学习例子。采用的是神经网络算法实现的多元分类问题。在这个例子中，我们试图将一张点阵图识别成0-9的数字，因此，该分类问题的分类结果总共有10类，输入则是每一张20x20的点阵图像素组成的向量。

模型表示

让我们来看看如何表示神经网络的假设函数。可以把单个神经元看成是一个接收输入信号，经过一定的“激励”后，输出信号的单元。在我们的模型中，输入就好比特征向量x1⋯xn，输出则是假设函数的值。针对输入向量，我们会增加一个x0项，称为偏差单元(bias unit)，并且总是为1。使用神经网络解决分类问题时，我们使用g函数$ \frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}} $来作为激励函数。特征向量在输入神经元前，会有一个表示不同特征权重的向量作用于输入向量，也就是说特征向量在输入前会经过θ向量进行弱化或强化。

输入节点也称为输入层，输出节点也称为输出层。只有输入层和输出层的神经网路其实跟逻辑回归模型没有区别。我们可以在输入层和输出层之前增加若干隐藏层，隐藏层中的单元也叫激励单元(activation units)。

• $ a^{(j)}_i $记作第j层的第i个激励值
• $ Θ^{(j)} $记作从第j层向第j+1层传播时的权重矩阵

每个激励值的计算方法如下：

$$ \begin{align*} a_1^{(2)} = g(\Theta_{10}^{(1)}x_0 + \Theta_{11}^{(1)}x_1 + \Theta_{12}^{(1)}x_2 + \Theta_{13}^{(1)}x_3) \newline a_2^{(2)} = g(\Theta_{20}^{(1)}x_0 + \Theta_{21}^{(1)}x_1 + \Theta_{22}^{(1)}x_2 + \Theta_{23}^{(1)}x_3) \newline a_3^{(2)} = g(\Theta_{30}^{(1)}x_0 + \Theta_{31}^{(1)}x_1 + \Theta_{32}^{(1)}x_2 + \Theta_{33}^{(1)}x_3) \newline h_\Theta(x) = a_1^{(3)} = g(\Theta_{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \Theta_{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \Theta_{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \Theta_{13}^{(2)}a_3^{(2)}) \newline \end{align*} $$

上式描述的是，用一个3x4的矩阵$ Θ^{(1)} $乘以输入向量，得到激励节点。最终的输出是激励节点经过另一个1x4矩阵$ Θ^{(2)} $后得到的。不难得出如下结论：

如果第j层有$ s_j $个单元，第j+1层有$ s_{j+1} $个单元，那么$ Θ^{(j)} $的阶数为$ s_{j+1} × (s_j + 1) $。+1源自于每一层的偏差单元(bias unit)。

实现逻辑运算

为了更好的理解上述模型，下面通过神经网络算法来训练模型进行逻辑运算。首先先实现一个逻辑或运算$ x_1 $ OR $ x_2 $：

如上图，我们通过一个简单的2层神经网络实现了一个OR逻辑门。设置$ \Theta_{1} $为：

$$ \Theta_{1}=\begin{bmatrix}-10 \space 20 \space 20\end{bmatrix} $$

记得我们的g函数$ \frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}} $，我们可以得到右边的真值表。因此，对于这个神经网络，上述$ \Theta_{1} $就是模型需要习得的参数。

对于这个问题似乎使用普通的逻辑回归也能解决，那是因为对于逻辑或而言，仍然属于线性问题。但是下面我们要计算的同或运算，就是非线性问题了：

我们可以把同或运算写成如下形式：

$$ (x_1 \space AND \space x_2) \space OR \space ((NOT x_1) \space AND \space (NOT \space x_2)) $$

通过组合，我们可以得到下面的神经网络：

这是个3层神经网络，有一个输入层，一个隐藏层（2个激励节点），一个输出层：

$$ \Theta_{1}=\begin{bmatrix}-30\space20\space20\newline -10\space-20\space-20\end{bmatrix} \Theta_{2}=\begin{bmatrix}-10\space20\space20 \end{bmatrix} $$

实现多元分类

上述逻辑运算的例子最后得到的是一个值（即0或1）。很多实际的问题需要我们解决多元分类问题。其实我们只要让神经网络输出层包含多个节点即可，例如将一个张图的像素输入，预测图片是什么：