二叉排序树及相关操作说明

在讲到集合的时候，很容易让人想到的是数组和链表。然后大家会讨论这两种数据结构的差异。但是根据指定的内容在集合中查找，这两种数据结构的性能却没有区别都是O(n)，如何提高在集合中检索指定内容数据的性能，是我们在程序开发中面临的问题。

二叉排序树

二叉排序树的性质

1. 左子树不空时，左子树上所有的结点关键字的值均小于根结点关键字的值；
2. 右子树不空时，右子树上所有的结点关键字的值均大于根结点关键字的值；
3. 左右子树同时有满足性质1、性质2

二叉树的查找

1. 将给定的值与根结点相比较，若相等则查找成功；
2. 若小于根结点到左子树进行查找，若大于根结点到右子树进行查找；
3. 左右子树依次进行步骤1、步骤2操作，直到找到相等的结点或找到null(查找失败)
4. 二叉树的查找与折半查找相似

二叉树的操作

插入

例，根据{45,53,45,12,24,90}来构建二叉排序树

1. 从一个空树出发来构建二叉排序树，新增结点是建立在查找二叉排序树失败的前提下，因此新增的结点一定是二叉排序树的叶子结点
2. 中序遍历二叉排序树即可得到一个有序的集合

删除

二叉排序树的删除规则：设，
*f为指向被删除结点的双亲结点的指针
*p为指向被删除结点的指针

1. 若*p是叶子结点，那么就直接删除

   • *p是*f的左子结点，如图所示：
     
   • *p是*f的右子结点，如图所示：
     

2. 若删除的*p结点只有左子树或是右子树，删除*p结点之后直接将子树挂在*f结点上即可，成为*f结点的子树

   • *p是*f的左子结点，如图所示：
   • *p是*f的右子结点，如图所示：
   • 说明：上述只是部分情况，剩余情况最后都跟上图显示的删除*p结点之后的结点情况一致。

3. 若删除的*p结点同时拥有左、右子树，删除节点有两种可行性操作：

   • 若*p结点是*f的左子结点

     • 第一种操作：将*p点的左子树PL直接挂载到*f结点上，成为*f结点的左子树，然后将*p结点的右子树PR挂载到中序遍历时PL子树中*p结点的直接前驱节点，成为该节点的右子树；如图所示：

     • 第二种操作：使用二叉排序树的中序遍历得到的结点顺序，确定*p结点的直接前驱或直接后继结点，将该结点移到*p结点位置

       • 该结点满足以下特性：

         1. 该结点是叶子结点或只有一个子树(若是前驱节点只有左子树；若是后继节点只有右子树)
         2. 该结点是*p前驱结点的话，就是该前驱结点父节点的右子结点；
         3. 该结点是*p后继结点的话，就是该后继结点父节点的左子结点。

       • 接下来以*p结点的前驱结点进行讨论：

         • 若*p结点的前驱结点是叶子结点则直接移动即可，图就略过了。
         • 若*p结点的前驱结点有左子树的话，则将左子树挂载到*p结点的前驱结点的父结点上，成为*p结点的前驱结点的父结点的右子树，如图所示：

       • 接下来以*p结点的后继结点进行讨论：

         • 若*p结点的后继结点是叶子结点则直接移动即可，图(略)
         • 若*p结点的后继结点有右子树的话，则将右子树挂载到*p结点的后继结点的父结点上，成为*p结点的后继结点的父结点的左子树，如图所示：

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       • 上述是在*p是*f的左孩子的前提下进行的讨论，接下来是以*p是*f的右孩子进行讨论，直接上图了

         • 第一种操作：

         • 第二种转换：

           • 以*p结点的前驱结点进行讨论
             
           • 以*p结点的后继结点进行讨论

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