js算法入门（3）--递归

1简介

递归在前端开发中应用还是非常广泛的，首先DOM就是树状结构，而这种结构使用递归去遍历是非常合适的。然后就是对象和数组的深复制很多库也是使用递归实现的例如jquery中的extend方法。甚至在画图时也会经常利用递归实现一些图形，犀牛书中就有相关的例子。
由此可见递归是一个非常有用的工具，本文余下的部分将按照传统的方式讲述递归，首先由分治思想引出递归，因为递归是实现分治的最为直观的算法，然后将通过几个经典的例子如斐波那契数列、阶乘、全排和n皇后来一步步深入了解递归。最终我们将回归前端，使用递归解决一些问题，如实现深复制、遍历dom树等。

2分治简介

这里主要引用《算法笔记》里的定义（其实这个系列算是这本书的读书笔记吧。。）

分治（divide and conquer）全称分而治之，即分治法将原问题划分为若干个规模较小儿结构与原问题相同或者相似的子问题，然后分别解决这些子问题，最后合并子问题的解，即可得到原问题的解

步骤：

注意：

• 分解的子问题应该相互独立、没有交叉。不然应该选择其它解决方法。
• 分治是一种思想，既可以使用递归也可以使用非递归手段实现

3递归

递归就是反复调用自身函数，但每次调用时会吧范围缩小，直到范围缩小到可以直接得到边界数据的结果，然后在返回的路上求出对应的解。
由分治和递归的定义就可以看出，递归是实现分治的最直观的算法。
递归式的重要概念：

• 递归边界：没有递归边界会导致无限递归，然后就会报错 Maximum call stack size exceeded
• 递归式

下面通过几个例子来深入了解一下递归：

3.1使用递归求解n的阶乘

n!的计算公式：
$$ n!=1*2*3*.....*n $$
n!的递归式：
$$ F(n)=F(n-1)*n $$
有了递归式就可以很方便的写出递归函数：

 function F(n=3){
       if(n==0) return 1;
        else return F(n-1)*n;
    }
    console.log(F())

为了方便理解，这里选取了3！数量较少递归过程好画，同时给出了图来描述这个递归过程：

同时我们结合实际执行时的gif来动态的了解一下：

这里着重注意一下最右侧的Call Stack,俗称调用堆栈，这个堆栈有个特点就是后进先出（LILO），调用堆栈存放的是函数。在递归过程中，未完成计算的函数将会挂起（压入调用堆栈），不然递归结束的时候没办法进行回溯。图一里的四层就对应Call Stack里放的四个F，然后我们再观察一下那个变量n，每次单步执行的时候n都在变化，步骤1时n=2...步骤3时n=0，当n=0的时候达到了当前的递归边界，结果开始返回，这时我们观察Call Stack下方的Scope：

那个红框标识出来的变量Return value,这时就开始进入回溯阶段，就是步骤4至步骤7，Call Stack开始弹出之前保存的递归函数，每次都返回一个计算好的值，最后合并成最终结果。

3.2求Fibonacci数列的第n项

Fibonacci数列是满足F(0)=1,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2)的数列。因此可以得出

• 递归边界：为F(0)=1,F(1)=1
• 递归式：为F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2)

从上面可以看出和3.1中的阶乘很像，我们参照着就可很快写出：

 function Fib(n=4){
        if(n==0||n==1) return 1;
        else return Fib(n-1)+Fib(n-2);
    }
    console.log(Fib())

现在画一下它的递归树

黑线是递归函数入栈，黄线是出栈，步骤1~17表示顺序。从这种图中我们可以小窥一下画同时调用多个自己的递归树的方法，因为代码都是顺序执行的，所以递归也要按顺序入栈出栈，遇到这种情况就先指着优先级最高的那个一直递归到递归边界，然后在返回的过程中按顺序递归剩下的即可。

3.3全排

引用百度百科的解释：

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。
公式：全排列数f(n)=n!(定义0!=1)，如1,2,3三个元素的全排列为：
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1
共3*2*1=6种。

本例使用的是字典序（从小到大顺序排序）实现全排，而上段中的1，2，3的全排就是按照字典序排列的。
从递归角度分析，输出n的全排就可以分解为输出以1开头的全排、2开头的全排.....输出以n开头的全排。
定义数组save用于存放当前的排列，设定一个flag数组当flag[x]为true时表示整数x已经存在save中，当递归结束时需要还原。index表示排列位置。递归边界就是index==n+1，表示1~n位置都已经填好。

function Permutation(n) {
        let flag = new Array(n + 1).fill(false);
        let save = new Array(n + 1).fill(0);
        let index = 1;
        return (function innerPer(index) {
            if (index == n + 1) {
                for (let i = 1; i <= n; i++) {
                    console.log(save[i]);
                }
                console.log('\n')
                return;
            }
            for (let x = 1; x <= n; x++) {
                if (!flag[x]) {
                    flag[x] = true;//每向下递归一次，进入if的次数少一
                    save[index] = x;//index在每层循环过程中是不变的
                    innerPer(index + 1);//仅在递归时发生变化
                    flag[x] = false;//递归结束还原状态
                }
            }
        })(index)
    }

    Permutation(3);

这个是正序输出，大家也可以实现一下逆序输出，或者画一画递归树加深一下印象。

3.4n皇后问题

n皇后问题很经典，该问题指的是在n*n的棋盘上放置n个皇后，使得这n个皇后不再同一行、同一列、同一对角线上，求合法的方案数量，下图就是n=5的一个合法方案。

因为每一行每一列只能放置一个皇后，所以这个问题就转换为n的排列问题，例如上图按照行号就是24513。这样我们把3.3中的代码稍作修改就能解决现在的问题。（所以说数学好的人就是nb，唉。。）
我们在全排的代码上加上判断每两个皇后是否在对角线上的代码即可。

 function Queen(n) {
        let flag = new Array(n + 1).fill(false);
        let save = new Array(n + 1).fill(0);
        let index = 1;
        let cnt = 0;

        return (function innerQ(index) {
            if (index == n + 1) {
                let judge = true;
                for (let i = 1; i <= n; i++) {
                    for (let j = i + 1; j <= n; j++) {
                        if (Math.abs(i - j) == Math.abs(save[i] - save[j])) {
                            judge = false;
                        }
                    }
                }
                if (judge) {
                    console.log(save, ++cnt);
                    console.log('\n');

                }
                return;
            }
            for (let x = 1; x <= n; x++) {
                if (!flag[x]) {
                    flag[x] = true;
                    save[index] = x;
                    innerQ(index + 1);
                    flag[x] = false;
                }
            }
        })(index)

    }
    Queen(10)

这里有个问题就是判断对角线冲突，这里采用两个一维数组解决了二维数组的问题，外层的for循环i，j为列号，一位数组里存的值为行号，通过观察可以知道，如果两个棋盘格子处在对角的位置，那么他们的横坐标之差等于他们的纵坐标之差的绝对值（斜字部分引用自《运用全排列的方法解决八皇后问题》）。
上面这种枚举所有情况然后挨个判断合法性的手段被称之为暴力法，通过观察可以发现只要发现第一次不合法那整个递归就可以返回，无须将递归进行到底再去判断，直接返回上层即可。这就引出了回溯法
回溯法就是在达到递归边界前的某层，由于一些事实导致已经不需要前往任何一个子问题递归，就可以直接返回上一层。
下面举出回溯法的代码，请与上方进行对比。

    function ReQueen(n) {
        let flag = new Array(n + 1).fill(false);
        let save = new Array(n + 1).fill(0);
        let index = 1;
        let cnt = 0;

        return (function innerQ(index) {
            if (index == n + 1) {
                console.log(save, ++cnt);
                return;
            }
            for (let x = 1; x <= n; x++) {
                if (!flag[x]) {
                    let judge = true;
                    for (let pre = 1; pre < index; pre++) {//再次强调index代表位置
                        if (Math.abs(pre - index) == Math.abs(save[pre] - x)) {
                            judge = false;
                            break;
                        }
                    }
                    if (judge) {
                        flag[x] = true;
                        save[index] = x;
                        innerQ(index + 1);
                        flag[x] = false;
                    }
                }
            }
        })(index)
    }

    ReQueen(8)

3.5递归在前端上的应用

递归在前端中应用还是非常常见的。主要原因是前端数据量一般不大，而且从es6开始支持尾递归的优化。同时DOM也是树状结构，在遍历树这种数据结构的时候也常用递归。所以相对与前面讲的哈希，递归是要重点掌握的。

3.5.1遍历DOM获取文本

在使用textContent和innerText时有时并不能满足我们的要求，这时我们就要手工的收集文本来得到想要的结果。

function GetText(elem){
        var text="";
        var length = elem.childNodes.length;
        for(let i=0;i<length;i++){
            var cur = elem.childNodes[i];
            if(cur.nodeType===3)
                text+=cur.nodeValue;//遇到文本节点就保存
            else if(cur.nodeType===1)
                text+=GetText(cur);//遇到元素节点就进行递归
        }
        return text;
    }

3.5.2使用递归实现属性查询

原生的js并不提供通过标签属性去获取标签，在这里我们通过递归遍历dom树去实现这个功能。
首先我们要实现递归遍历dom树

function WalkDom(node, func) {
        func(node);//首先把传入的节点，传给func进行操作
        node = node.firstChild;//提取节点的第一个子节点
        while (node) {//递归的终止条件就是节点不存在
            WalkDom(node, func);//递归
            node = node.nextSibling;//获取兄弟节点
        }
    }

这里的递归终止条件就是节点不存在。
现在实现通过属性获取标签，这里主要用到的是原生方法getAttribute

function getElementByAttr(attr, value ,node=document.body) {//两个可选参数，属性对应的值value，指定范围节点node
        let res = [];
        WalkDom(node, function (node) {
            let actual = node.nodeType == 1 && node.getAttribute(attr);//这里主要用到&&运算的特点，第一个值为真则返回第二个值，第一个值为假则返回第一个值，第二个表达式将不进行计算
            if (typeof actual == 'string' && (actual === value || typeof value != 'string')) {
                res.push(node);
            }
        })
        return res;
    }

3.5.3使用递归实现深复制

因为js存在引用型（对象和数组都是引用型），引用型的有一个特点就是复制上分为浅复制和深复制。浅复制和深复制的区别如下：

var a=[1,2,3],b=a,c=[];//把a直接赋值给b的这种情况就是浅复制
    b.pop();//修改b的同时a也被改变了
    console.log(a);//输出[1,2]
    a.forEach(function(elem,index){
        c[index]=elem
    })
    c.push(4)//修改c，不影响a
    console.log(a,c)

js的引用型在赋值的时候，赋给变量的可能是地址，而非数据的副本。因为在使用数组和对象的时候经常嵌套数组或对象所以我们要通过递归的方式来实现数据的备份。

function DeepClone(obj){
        if(!obj||typeof obj!=='object')
            return obj;
        var tmp =new obj.constructor();
        for(let key in obj){
            tmp[key]=DeepClone(obj[key]);
        }
        return tmp;
    }
   var cc=[[1,2,4],{'dd':123}],bb=DeepClone(cc)
    console.log(bb.pop(),cc)

这是一个简陋的实现，看那个类型判断就可以看出来很不严谨，不过大部分库都提供有完备的深复制的方法。例如jq的extend就可以实现深复制。

4小结

和js相关的例子还是太少太理论化，未来会增加一些更接地气的。
树和图结构也会用到递归，所以递归这一节请深入研究一下。

参考

《算法笔记》
《javascript函数式编程》
《javascript语言精粹》
《javascript忍者秘籍》